Через точку сферы под углом 30 градусов к диаметру, проходящему через эту точку, проведена плоскость,...

Длина окружности - это расстояние, которое нужно пройти по окружности, чтобы вернуться в ту же самую точку.

Чтобы решить данную задачу, давайте обозначим центр сферы как точку O, точку сферы через которую проходит диаметр как точку A, точку пересечения плоскости с сферой как точку B, а точку пересечения плоскости с диаметром как точку C.

Так как угол между плоскостью и диаметром равен 30 градусов, то треугольник OAC - прямоугольный. Также, так как плоскость удалена от центра сферы на 4 корня из трёх см, то OA = 4√3 см. Так как угол AOC равен 30 градусов, то для нахождения длины отрезка AC воспользуемся формулой косинуса:

AC = OA cos(30°) = 4√3 cos(30°) = 4 см.

Таким образом, длина отрезка AC равна 4 см. Поскольку точка B - это точка пересечения плоскости и сферы, то BC - это радиус сечения, а значит, длина окружности сечения равна 2π BC = 2π 4 = 8π см.

Таким образом, длина окружности полученного сечения равна 8π см.

Давайте разберем задачу поэтапно и запишем подробное решение.

1. Понимание задачи. У нас есть сфера с центром ( O ) и радиусом ( R ). Через точку ( A ), лежащую на поверхности сферы, проведена плоскость под углом 30 градусов к диаметру, проходящему через эту точку. Эта плоскость удалена от центра сферы на ( 4\sqrt{3} ) см.

2. Построение чертежа. Для начала начертим сферу с центром ( O ) и радиусом ( R ). Обозначим точку ( A ) на поверхности сферы. Проведем диаметр ( AB ), проходящий через точку ( A ), и сделаем заметку, что угол между диаметром ( AB ) и плоскостью составляет 30 градусов. Также нарисуем перпендикулярный отрезок от точки ( O ) до плоскости и обозначим его длину ( d = 4\sqrt{3} ).

3. Расчет радиуса сечения. Сечение сферы плоскостью — это окружность. Чтобы найти радиус этой окружности, нужно использовать следующую формулу: [ r = \sqrt{R^2 - d^2} ] где ( R ) — радиус сферы, ( d ) — расстояние от центра сферы до плоскости. В нашем случае ( d = 4\sqrt{3} ), и нам нужно найти ( R ).

4. Нахождение радиуса сферы. Угол между диаметром и плоскостью составляет 30 градусов. Значит, если рассмотреть треугольник ( OAP ), где ( P ) — точка пересечения перпендикуляра с плоскостью, то гипотенуза ( OA ) является радиусом сферы ( R ), а катет ( OP ) равен ( d = 4\sqrt{3} ). Используем тригонометрическую функцию косинуса: [ \cos(30^\circ) = \frac{OP}{OA} = \frac{4\sqrt{3}}{R} ] Знаем, что (\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}), подставим это значение: [ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{R} ] Умножим обе части на ( R ): [ R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} ] Умножим обе части на 2: [ R \sqrt{3} = 8\sqrt{3} ] Поделим обе части на ( \sqrt{3} ): [ R = 8 ]

5. Расчет радиуса окружности сечения. Теперь, зная радиус сферы ( R = 8 ) см и расстояние ( d = 4\sqrt{3} ) см, подставим эти значения в формулу: [ r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{8^2 - (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 - 48} = \sqrt{16} = 4 \text{ см} ]

6. Длина окружности сечения. Длина окружности находится по формуле: [ C = 2\pi r ] Подставим найденный радиус ( r = 4 ): [ C = 2\pi \cdot 4 = 8\pi \text{ см} ]

Ответ: Длина окружности полученного сечения равна ( 8\pi ) см.

На основании вышеописанного решения можем сделать чертеж. К сожалению, я не могу предоставить графическое изображение, но приведу основные элементы, которые должны быть на чертеже:

• Сфера с центром ( O ) и радиусом ( R = 8 ) см.
• Точка ( A ) на поверхности сферы.
• Диаметр ( AB ), проходящий через точку ( A ).
• Плоскость, проходящая через точку ( A ) под углом 30 градусов к диаметру ( AB ).
• Перпендикулярный отрезок ( OP ) от центра сферы до плоскости, длина которого ( d = 4\sqrt{3} ) см.
• Радиус окружности сечения ( r = 4 ) см.

Для наглядности чертежа обозначьте точки, проведите необходимые отрезки и укажите углы и длины.