Через точку А проведены касательная AB ( B- точка касания) и секущая, пересекающая окружность С и K...

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства касательной и секущей окружности.

Из свойства касательной к окружности можно сделать вывод, что угол между касательной и радиусом, проведенным к точке касания, равен 90 градусов. Таким образом, треугольник ABC является прямоугольным треугольником.

Мы знаем, что AC = 4 см и AK = 16 см. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника можно выразить длину AB:

AB^2 = AC^2 + BC^2 BC^2 = AK^2 - AC^2 BC = √(16^2 - 4^2) BC = √(256 - 16) BC = √240 BC = 4√15

Таким образом, длина AB равна BC, то есть AB = 4√15 см.

Чтобы найти длину касательной ( AB ), можно использовать теорему о секущей и касательной, которая гласит, что квадрат длины касательной из внешней точки к окружности равен произведению отрезков секущей линии, проведенной из той же точки.

Теорема о секущей и касательной: [ AB^2 = AC \cdot AK ]

По условиям задачи, ( AC = 4 ) см и ( AK = 16 ) см.

Подставим эти значения в формулу: [ AB^2 = 4 \cdot 16 ]

Вычислим произведение: [ AB^2 = 64 ]

Теперь извлечём квадратный корень, чтобы найти ( AB ): [ AB = \sqrt{64} = 8 ]

Таким образом, длина касательной ( AB ) равна 8 см.