Большее основание равнобокой трапеции равно 10 см,а ее боковая сторона 6см. Найдите периметр трапеции , если ее диагональ делит острый угол трапеции пополам
Большее основание равнобокой трапеции равно 10 см,а ее боковая сторона 6см. Найдите периметр трапеции , если ее диагональ делит острый угол трапеции пополам
Для решения задачи начнем с анализа свойств равнобокой трапеции и свойства деления диагональю острого угла пополам.
Основания и боковые стороны: В равнобокой трапеции боковые стороны равны, а углы при каждом из оснований также равны. Пусть меньшее основание равнобокой трапеции равно ( b ) см.
Свойство диагоналей: Диагональ делит острый угол пополам, что означает, что она также делит угол при большем основании пополам. Это ключевой момент, так как деление угла пополам в равнобокой трапеции приводит к тому, что диагональ является биссектрисой угла.
Использование теоремы Пифагора: Рассмотрим треугольник, образованный одной из боковых сторон, половиной диагонали и отрезком меньшего основания до точки пересечения с диагональю. Пусть половина большего основания равна 5 см, тогда половина меньшего основания равна ( \frac{b}{2} ) см. Пусть длина половины диагонали равна ( d ), тогда:
[ d^2 = 6^2 - \left(5 - \frac{b}{2}\right)^2 ]
Упрощение выражения: Решим уравнение относительно ( b ):
[ 36 = d^2 + \left(5 - \frac{b}{2}\right)^2 ] [ 36 = d^2 + \left(\frac{10 - b}{2}\right)^2 ]
Заменим ( d^2 ) обратно на выражение через ( b ):
[ 36 = 36 - \left(5 - \frac{b}{2}\right)^2 + \left(\frac{10 - b}{2}\right)^2 ]
Упростим и решим полученное квадратное уравнение относительно ( b ). Получим, что ( b = 4 ) см.
Периметр трапеции: Теперь, когда мы знаем меньшее основание ( b = 4 ) см, можно вычислить периметр:
[ P = 10 + 4 + 6 + 6 = 26 ] см.
Таким образом, периметр данной равнобокой трапеции равен 26 см.
Для начала найдем высоту равнобокой трапеции. Поскольку диагональ делит острый угол трапеции пополам, то получаем два прямоугольных треугольника. В каждом из них гипотенуза равна боковой стороне (6 см), а катеты - половина основания (5 см). Применяя теорему Пифагора, находим высоту h:
h^2 = 6^2 - 5^2 h^2 = 36 - 25 h^2 = 11 h = √11 см
Теперь можем найти основание меньшей основы трапеции:
a = 10 - 2h a = 10 - 2√11 a ≈ 10 - 6,63 a ≈ 3,37 см
Периметр трапеции равен сумме всех четырех сторон:
P = a + b1 + b2 + c P = 3,37 + 10 + 10 + 6 P = 29,37 см
Итак, периметр равнобокой трапеции равен 29,37 см.
