Боковое ребро правильной шестиугольной пирамидытравно а и составляет с плоскостью основания угол альфа....

Для решения этой задачи будем исходить из условий: боковое ребро пирамиды равно ( a = 2 ), а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен ( \alpha = 60^\circ ).

Объем пирамиды

1. Найдем высоту пирамиды:

   • Обозначим высоту пирамиды через ( h ).
   • Так как боковое ребро пирамиды образует угол ( \alpha ) с плоскостью основания, то ( h = a \cos(\alpha) ).
   • Подставим значения: ( h = 2 \cos(60^\circ) = 2 \times \frac{1}{2} = 1 ).

2. Найдем площадь основания:

   • Основание пирамиды — правильный шестиугольник со стороной ( s ).
   • Свяжем сторону шестиугольника с длиной бокового ребра: в правильной шестиугольной пирамиде центр основания, вершина пирамиды и вершина основания образуют равнобедренный треугольник. В этом треугольнике высота, проведенная из вершины пирамиды к основанию, будет равна высоте пирамиды. Используя треугольник, где гипотенуза — боковое ребро, катет — радиус описанной окружности шестиугольника ( R ), получаем: [ R = a \sin(\alpha) = 2 \sin(60^\circ) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} ]
   • В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне, поэтому ( s = \sqrt{3} ).

3. Площадь правильного шестиугольника:

   • Площадь правильного шестиугольника выражается как: [ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} s^2 ]
   • Подставим значение ( s = \sqrt{3} ): [ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} (\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 3 = \frac{9\sqrt{3}}{2} ]

4. Объем пирамиды:

   • Объем пирамиды ( V ) находится по формуле: [ V = \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} \times \frac{9\sqrt{3}}{2} \times 1 = \frac{9\sqrt{3}}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{2} ]

Объем вписанного конуса

1. Параметры конуса:

   • Высота конуса равна высоте пирамиды: ( h = 1 ).
   • Радиус основания конуса совпадает с радиусом вписанной окружности основания пирамиды. В правильном шестиугольнике радиус вписанной окружности ( r ) связан с длиной стороны ( s ) как ( r = \frac{\sqrt{3}}{2} s ).
   • Таким образом: [ r = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{3} = \frac{3}{2} ]

2. Объем конуса:

   • Объем конуса ( V{\text{конус}} ) определяется формулой: [ V{\text{конус}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h ]
   • Подставим значения: [ V_{\text{конус}} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{3}{2}\right)^2 \times 1 = \frac{1}{3} \pi \times \frac{9}{4} = \frac{3\pi}{4} ]

Таким образом, объем пирамиды равен (\frac{3\sqrt{3}}{2}), а объем вписанного в пирамиду конуса равен (\frac{3\pi}{4}).

Объем правильной шестиугольной пирамиды равен (3√3 a^2 h) / 2, где a - длина стороны основания, h - высота пирамиды. Для данного случая объем пирамиды будет (3√3 2^2 2) / 2 = 12√3.

Объем вписанного в пирамиду конуса равен (1/3) * объема пирамиды, то есть 4√3.

Для начала найдем высоту пирамиды. Разделим боковое ребро на две части, получим два прямоугольных треугольника. Так как угол альфа равен 60 градусам, то у нас получится равносторонний треугольник. Значит, высота пирамиды равна стороне треугольника, то есть h = a = 2.

Теперь найдем площадь основания пирамиды. Поскольку это правильный шестиугольник, его площадь равна 6 (a^2 sqrt(3))/4 = 6 (2^2 sqrt(3))/4 = 6 2 sqrt(3) = 12 * sqrt(3).

Теперь можем найти объем пирамиды по формуле V = (1/3) S h, где S - площадь основания, h - высота. Получаем V = (1/3) 12 sqrt(3) 2 = 8 sqrt(3).

Далее найдем радиус вписанного в пирамиду конуса. Он равен трети высоты пирамиды, то есть r = h/3 = 2/3.

Теперь можем найти объем конуса по формуле V = (1/3) π r^2 h = (1/3) π (2/3)^2 2 = (4/9) * π.

Итак, объем пирамиды равен 8 sqrt(3), а объем вписанного в пирамиду конуса равен (4/9) π.