Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды длиной 2 наклонено к плоскости основания под углом...

Объем правильной четырехугольной пирамиды можно найти по формуле V = (1/3) S h, где S - площадь основания, h - высота пирамиды. Площадь основания равна S = a^2, где а - длина бокового ребра. Высота пирамиды h = a sin(30°). Подставляем значения и получаем V = (1/3) a^2 a sin(30°) = (1/3) a^3 0.5 = (1/6) a^3. Таким образом, объем пирамиды равен (1/6) 2^3 = 2/3.

Чтобы найти объем правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно определить высоту пирамиды и площадь основания. Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.

1. Определение элементов пирамиды:

   • Правильная четырехугольная пирамида имеет квадратное основание.
   • Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30 градусов. Это означает, что угол между боковым ребром и плоскостью основания составляет 30 градусов.
   • Длина бокового ребра равна 2.

2. Использование тригонометрии:

   • Высота пирамиды (h) опускается из вершины пирамиды на центр основания, который является точкой пересечения диагоналей квадрата.
   • Треугольник, образованный высотой, половиной диагонали квадрата и боковым ребром, является прямоугольным.
   • По определению косинуса угла, (\cos(30^\circ) = \frac{\text{половина диагонали}}{\text{боковое ребро}}).

3. Расчеты:

   • (\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}), следовательно, (\frac{d/2}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}), где (d) — диагональ квадрата.
   • (d/2 = \sqrt{3}).
   • Диагональ квадрата (d = 2\sqrt{3}).

4. Нахождение стороны квадрата:

   • Диагональ квадрата: (d = a\sqrt{2}), где (a) — сторона квадрата.
   • (a\sqrt{2} = 2\sqrt{3}).
   • (a = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{6}).

5. Нахождение высоты пирамиды:

   • Синус угла: (\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}).
   • (\frac{h}{2} = \frac{1}{2}).
   • (h = 1).

6. Расчет площади основания:

   • Площадь основания (S = a^2 = (\sqrt{6})^2 = 6).

7. Нахождение объема пирамиды:

   • Формула объема пирамиды: (V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h).
   • (V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 1 = 2).

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды составляет 2 кубических единицы.

Для решения данной задачи нам необходимо найти высоту пирамиды. Обозначим высоту пирамиды как h. Так как боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 30 градусов, то мы можем выделить прямоугольный треугольник, где гипотенуза равна 2, катет равен h, а угол между гипотенузой и катетом равен 30 градусам.

Используя тригонометрические функции, мы можем записать следующее уравнение: cos(30°) = h/2, h = 2 cos(30°), h = 2 √3 / 2, h = √3.

Теперь, когда мы нашли высоту пирамиды, можем найти её объем, используя формулу: V = (1/3) S_осн h, где S_осн - площадь основания пирамиды.

Поскольку пирамида - правильная четырехугольная, то её основание - квадрат. Пусть a - длина стороны квадрата. Тогда площадь основания: S_осн = a^2.

Так как боковое ребро равно 2, то сторона квадрата равна 2. Тогда площадь основания: S_осн = 2^2 = 4.

Подставляем найденные значения в формулу для объема пирамиды: V = (1/3) 4 √3, V = 4√3 / 3.

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды равен 4√3 / 3.