Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды составляет с плоскостью основания 45 градусов найдите...

Для решения данной задачи нам понадобится использовать теорему косинусов. Пусть длина бокового ребра пирамиды равна а, а длина ребра основания равна Р.

Так как у нас имеется правильная четырехугольная пирамида, то угол между боковым ребром и плоскостью основания составляет 45 градусов. Это означает, что косинус этого угла равен cos(45°) = √2/2.

С помощью теоремы косинусов мы можем выразить высоту пирамиды h через длину ребра основания Р и длину бокового ребра а: h = √(a^2 - (R/2)^2)

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности пирамиды: Sбок = (1/2) a h = (1/2) a √(a^2 - (R/2)^2)

Для нахождения площади полной поверхности пирамиды добавим к площади боковой поверхности площадь основания: Sполн = Sбок + Sосн = (1/2) a √(a^2 - (R/2)^2) + R^2

Таким образом, мы можем найти площадь боковой и полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды, зная длину ребра основания и бокового ребра.

Для решения задачи потребуется несколько шагов, включающих использование тригонометрии и геометрии. Начнем с анализа геометрических свойств правильной четырехугольной пирамиды.

Дано:

• Пирамида правильная четырехугольная.
• Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°.
• Периметр основания (P).

Найти:

• Площадь боковой поверхности.
• Полную площадь поверхности пирамиды.

Шаг 1: Определение стороны основания

Пусть сторона основания пирамиды равна ( a ). Поскольку основание правильное (квадрат), периметр ( P ) равен ( 4a ): [ P = 4a ] Отсюда: [ a = \frac{P}{4} ]

Шаг 2: Использование тригонометрии для определения высоты боковой грани

В правильной четырехугольной пирамиде боковые грани — равнобедренные треугольники. Угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°, что указывает на важные тригонометрические соотношения.

Рассмотрим треугольник, который проходит через высоту пирамиды, боковое ребро и апофему основания (отрезок от центра основания до середины стороны основания). В этом треугольнике угол между боковым ребром и плоскостью основания — 45°.

Пусть ( S ) — вершина пирамиды, ( O ) — центр основания, ( A ) и ( B ) — середины соседних сторон основания. Тогда ( SA ) — боковое ребро, ( OA ) — апофема основания, ( SO ) — высота пирамиды.

Шаг 3: Определение апофемы основания

Апофема ( OA ) основания (половина диагонали квадрата): [ OA = \frac{a\sqrt{2}}{2} ] Подставляя ( a = \frac{P}{4} ): [ OA = \frac{\left(\frac{P}{4}\right)\sqrt{2}}{2} = \frac{P\sqrt{2}}{8} ]

Шаг 4: Определение высоты пирамиды

Используем тангенс угла 45°: [ \tan 45^\circ = 1 = \frac{SO}{OA} ] Отсюда: [ SO = OA = \frac{P\sqrt{2}}{8} ]

Шаг 5: Определение бокового ребра

Используем теорему Пифагора для треугольника ( SAO ): [ SA^2 = SO^2 + OA^2 ] [ SA^2 = \left(\frac{P\sqrt{2}}{8}\right)^2 + \left(\frac{P\sqrt{2}}{8}\right)^2 ] [ SA^2 = 2 \left(\frac{P\sqrt{2}}{8}\right)^2 ] [ SA^2 = 2 \cdot \frac{P^2 \cdot 2}{64} ] [ SA^2 = \frac{P^2}{16} ] [ SA = \frac{P}{4} ]

Шаг 6: Определение площади боковой поверхности

Площадь одной боковой грани (равнобедренного треугольника): [ \text{Площадь}\text{боковой грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\text{боковой грани} ] Где ( h\text{боковой грани} ) — высота боковой грани, которую можно найти через треугольник ( SAB ) (прямоугольный треугольник): [ h\text{боковой грани}^2 = SA^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 ] [ h\text{боковой грани}^2 = \left(\frac{P}{4}\right)^2 - \left(\frac{\frac{P}{4}}{2}\right)^2 ] [ h\text{боковой грани}^2 = \frac{P^2}{16} - \frac{P^2}{64} ] [ h\text{боковой грани}^2 = \frac{4P^2 - P^2}{64} ] [ h\text{боковой грани}^2 = \frac{3P^2}{64} ] [ h_\text{боковой грани} = \frac{P\sqrt{3}}{8} ]

Площадь одной боковой грани: [ \text{Площадь}_\text{боковой грани} = \frac{1}{2} \cdot \frac{P}{4} \cdot \frac{P\sqrt{3}}{8} = \frac{P^2\sqrt{3}}{64} ]

Площадь боковой поверхности (4 боковые грани): [ \text{Площадь}_\text{боковой поверхности} = 4 \cdot \frac{P^2\sqrt{3}}{64} = \frac{P^2\sqrt{3}}{16} ]

Шаг 7: Определение полной площади поверхности

Площадь основания (квадрат): [ \text{Площадь}_\text{основания} = a^2 = \left(\frac{P}{4}\right)^2 = \frac{P^2}{16} ]

Полная площадь поверхности: [ \text{Площадь}\text{полной поверхности} = \text{Площадь}\text{боковой поверхности} + \text{Площадь}\text{основания} ] [ \text{Площадь}\text{полной поверхности} = \frac{P^2\sqrt{3}}{16} + \frac{P^2}{16} = \frac{P^2 (\sqrt{3} + 1)}{16} ]

Ответ:

• Площадь боковой поверхности пирамиды: ( \frac{P^2\sqrt{3}}{16} )
• Полная площадь поверхности пирамиды: ( \frac{P^2 (\sqrt{3} + 1)}{16} )