Боковая сторона трапеции равна 5, а один из прилегающих к ней углов равен 30°. Найдите площадь трапеции,...

Для нахождения площади трапеции с боковой стороной 5 и прилегающим углом 30°, а также основаниями 3 и 9, нужно воспользоваться несколькими шагами и геометрическими понятиями.

1. Обозначим данное и введем переменные:

   • Нижнее основание ( AB = 9 )
   • Верхнее основание ( CD = 3 )
   • Боковая сторона ( AD = 5 )
   • Угол ( \angle DAB = 30^\circ )

2. Определим высоту трапеции: Поскольку угол ( \angle DAB = 30^\circ ), боковая сторона ( AD ) может быть разделена на две части: вертикальную (высота трапеции ( h )) и горизонтальную (проекция на основание ( AB )).

   • Вертикальная часть ( h = AD \cdot \sin(30^\circ) = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2.5 )

3. Найдём горизонтальную проекцию ( x ) боковой стороны ( AD ):

   • Горизонтальная проекция ( x = AD \cdot \cos(30^\circ) = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2} )

4. Определим длину отрезка ( BE ) (основание ( AB ) без горизонтальной проекции боковой стороны):

   • ( BE = AB - (x + CD) = 9 - \left(\frac{5\sqrt{3}}{2} + 3\right) )
   • Приведём к общему знаменателю: ( BE = 9 - \left(\frac{5\sqrt{3}}{2} + \frac{6}{2}\right) = 9 - \frac{5\sqrt{3} + 6}{2} )
   • Упростим: ( BE = 9 - \frac{5\sqrt{3} + 6}{2} = \frac{18 - (5\sqrt{3} + 6)}{2} = \frac{12 - 5\sqrt{3}}{2} )

5. Площадь трапеции: Площадь ( S ) трапеции можно найти по формуле: [ S = \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot h ] Подставим известные значения: [ S = \frac{1}{2} \cdot (9 + 3) \cdot 2.5 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 2.5 = 6 \cdot 2.5 = 15 ]

Таким образом, площадь трапеции равна 15 квадратным единицам.