Боковая грань правильной треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол в 60 градусов. Найдите...

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства правильной треугольной пирамиды.

Поскольку боковая грань пирамиды образует с плоскостью основания угол в 60 градусов, то мы можем разделить треугольник, образованный высотой пирамиды и боковой гранью, на два равнобедренных треугольника. В таком случае, мы получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной стороне основания пирамиды, и катетом, равным половине стороны основания.

Таким образом, мы получаем, что tg(60°) = (половина стороны основания) / (высота пирамиды) tg(60°) = (a/2) / (10√3)

Решив уравнение, получим: √3 = a / 20 a = 20√3

Итак, сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 20√3.

Чтобы решить задачу, необходимо использовать свойства правильной треугольной пирамиды и тригонометрические соотношения.

1. Понимание задачи:

   • Правильная треугольная пирамида имеет в основании равносторонний треугольник.
   • Высота пирамиды (перпендикуляр от вершины пирамиды к плоскости основания) равна (10\sqrt{3}).
   • Боковая грань образует угол (60^\circ) с плоскостью основания.

2. Построение модели:

   • Обозначим:
     • ( S ) — вершина пирамиды,
     • ( ABC ) — основание пирамиды, равносторонний треугольник,
     • ( O ) — центр основания (точка пересечения медиан, высот и биссектрис равностороннего треугольника),
     • ( SO ) — высота пирамиды, равная ( 10\sqrt{3} ).

3. Тригонометрия:

   • Пусть ( SA ) — боковая грань пирамиды. Угол между ( SA ) и плоскостью основания равен (60^\circ).
   • Треугольник ( SAO ) прямоугольный, где ( \angle SAO = 60^\circ).

4. Используем тригонометрические соотношения:

   • В прямоугольном треугольнике ( SAO ), [ \tan(60^\circ) = \frac{SO}{AO} ]
   • Подставим значения: [ \sqrt{3} = \frac{10\sqrt{3}}{AO} ]
   • Отсюда находим ( AO ): [ AO = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 10 ]

5. Связь с равносторонним треугольником:

   • Для равностороннего треугольника ( ABC ), ( O ) — это центр, и медиана равна: [ AO = \frac{\sqrt{3}}{3}s ] где ( s ) — сторона основания треугольника.

6. Решение уравнения:

   • Подставим значение ( AO ): [ 10 = \frac{\sqrt{3}}{3}s ]
   • Отсюда находим ( s ): [ s = 10 \times \frac{3}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3} ]

Таким образом, сторона основания равностороннего треугольника равна ( 10\sqrt{3} ).

Для решения данной задачи нам нужно воспользоваться формулой для вычисления площади боковой поверхности пирамиды. Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани. Так как боковая грань образует с плоскостью основания угол в 60 градусов, то боковая грань является прямоугольным треугольником. Учитывая, что угол при основании треугольника равен 60 градусов, а высота равна 10√3, можем найти сторону основания, применив тригонометрические функции. После нахождения стороны основания, можем вычислить площадь основания пирамиды.