Биссектриса углов А и Д параллелограмма АВСД пересекаются в точке М, дежащий на стороне ВС. Луч ДМ пересекает...

Периметр параллелограмма АВСД равен 40 см.

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства параллелограмма и свойства биссектрисы угла.

По свойству биссектрисы угла мы знаем, что точка М делит угол А на два равных угла. Из этого следует, что угол АМС равен углу АМВ.

Так как параллелограмм АВСД, то угол А равен углу С, а угол В равен углу D. Из этого следует, что угол АМС равен углу А, а угол АМВ равен углу B.

Таким образом, у нас получается, что треугольник АНМ - прямоугольный треугольник, где катеты равны 10 см (АN) и х (МН), а гипотенуза равна 20 см (АМ).

Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину отрезка МН: 10^2 + х^2 = 20^2, x^2 = 300, x = √300 = 10√3.

Так как МН является высотой параллелограмма, то площадь параллелограмма равна 20 * 10√3 = 200√3.

Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме длин его сторон: 2(АВ + BC) = 2(10 + 20) = 60 см.

Итак, периметр параллелограмма АВСД равен 60 см.

Рассмотрим параллелограмм ( ABCD ), где ( AB \parallel CD ) и ( AD \parallel BC ). Пусть биссектрисы углов ( A ) и ( D ) пересекаются в точке ( M ), которая лежит на стороне ( BC ). Луч ( DM ) пересекает прямую ( AB ) в точке ( N ), и нам дано, что ( AN = 10 ) см. Требуется найти периметр параллелограмма.

1. Свойства биссектрис углов параллелограмма:

   • В параллелограмме биссектрисы углов, примыкающих к одной стороне, пересекаются на этой стороне.
   • Биссектрисы углов ( A ) и ( D ), пересекающиеся в точке ( M ), разбивают угол параллелограмма на два равных угла.

2. Использование симметрии:

   • Поскольку ( M ) лежит на стороне ( BC ), и угол ( A ) равен углу ( C ), координаты точки ( M ) могут быть симметричны относительно точки пересечения диагоналей параллелограмма.

3. Рассмотрение трапеций и треугольников:

   • Рассмотрим треугольник ( ADN ). Поскольку ( DM ) — биссектриса угла ( D ), треугольник ( ADN ) делится на два равных угла.
   • В треугольнике ( AND ), если ( AN = 10 ) см, то длина сегмента ( ND ) будет равна ( AN ) из-за симметрии и свойств параллелограмма (длина ( AD ) равна длине ( BC )).

4. Использование свойства параллелограмма:

   • В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны.
   • Так как ( AN = 10 ) см, и ( N ) делит ( AD ) и ( BC ) пополам, это значит, что ( AD = 2 \times AN = 20 ) см.

5. Периметр параллелограмма:

   • Периметр параллелограмма равен сумме всех его сторон.
   • Если ( AD = 20 ) см, то и ( BC = 20 ) см. Также, ( AB ) и ( CD ) будут равны.
   • Так как ( AN = 10 ) см и ( N ) лежит на ( AB ), то длина ( AB ) также будет 20 см.

Следовательно, периметр параллелограмма ( ABCD ) можно вычислить как: [ P = 2(AB + AD) = 2(20 + 20) = 2 \times 40 = 80 \text{ см} ]

Ответ: Периметр параллелограмма ( ABCD ) равен 80 см.