биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки 20 и 25 см . Найти стороны треугольника!
биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки 20 и 25 см . Найти стороны треугольника!
Для решения этой задачи воспользуемся свойствами биссектрисы и теоремой о биссектрисе. Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ( \triangle ABC ) с прямым углом в точке ( C ). Биссектриса острого угла ( \angle A ) делит катет ( BC ) на отрезки ( BD = 20 ) см и ( DC = 25 ) см, где ( D ) — точка пересечения биссектрисы с катетом ( BC ).
По теореме о биссектрисе, отношение отрезков, на которые делится сторона треугольника, равно отношению длин сторон, образующих угол, из которого проведена биссектриса:
[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} ]
Подставим известные значения:
[ \frac{20}{25} = \frac{AB}{AC} ]
Упростим дробь:
[ \frac{4}{5} = \frac{AB}{AC} ]
Теперь выразим ( AB ) через ( AC ):
[ AB = \frac{4}{5} \times AC ]
Обозначим ( AC = x ). Тогда ( AB = \frac{4}{5}x ).
Теперь используем теорему Пифагора для треугольника ( \triangle ABC ):
[ AB^2 = AC^2 + BC^2 ]
Заменим ( AB ) и ( BC = BD + DC = 20 + 25 = 45 ):
[ \left(\frac{4}{5}x\right)^2 = x^2 + 45^2 ]
[ \frac{16}{25}x^2 = x^2 + 2025 ]
Переносим все в одну сторону уравнения:
[ 16x^2 = 25x^2 + 50625 ]
[ 25x^2 - 16x^2 = 50625 ]
[ 9x^2 = 50625 ]
[ x^2 = \frac{50625}{9} ]
[ x^2 = 5625 ]
[ x = \sqrt{5625} ]
[ x = 75 ]
Итак, ( AC = 75 ) см. Теперь найдем ( AB ):
[ AB = \frac{4}{5} \times 75 = 60 ]
Таким образом, стороны треугольника равны:
Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника и биссектрисы угла.
Пусть катеты треугольника равны a и b, а гипотенуза - c. Тогда известно, что биссектриса острого угла треугольника делит противолежащий катет на отрезки, пропорциональные остальным катетам.
Из условия задачи имеем, что отрезки, на которые делится катет, равны 20 и 25 см. Поэтому можем записать уравнение пропорции:
a/25 = b/20
Отсюда можно выразить один катет через другой:
a = 25b/20
Также известно, что биссектриса делит гипотенузу на отрезки, пропорциональные катетам. Поэтому можем составить еще одну пропорцию:
c/25 = b/x
Где x - длина отрезка гипотенузы, образованного биссектрисой и катетом длиной 20 см.
Отсюда можно выразить гипотенузу через катет:
c = 25x/20
Теперь можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти все стороны треугольника. Имеем:
a^2 + b^2 = c^2
Подставляем найденные выражения для катетов и гипотенузы, и решаем полученное уравнение для нахождения сторон треугольника.
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c. Тогда биссектриса острого угла делит катет на отрезки в соотношении b/a = c/(a + b). Подставляем известные значения и находим a = 20 см, b = 25 см, c = 20√5 см. Таким образом, стороны треугольника равны 20 см, 25 см и 20√5 см.
