Является ли данное уравнение, уравнением окружности х2+у2+8х-4у+40=0

Чтобы определить, является ли данное уравнение уравнением окружности, нужно привести его к стандартной форме уравнения окружности. Стандартная форма уравнения окружности с центром в точке ((a, b)) и радиусом (r) выглядит так:

[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 ]

Исходное уравнение:

[ x^2 + y^2 + 8x - 4y + 40 = 0 ]

Для приведения к стандартной форме нужно выполнить следующие шаги:

1. Группируем переменные:

   [ (x^2 + 8x) + (y^2 - 4y) = -40 ]

2. Выполним выделение полного квадрата для каждой переменной.

   Для (x^2 + 8x):

   • Найдем число, которое нужно добавить и вычесть: ((\frac{8}{2})^2 = 16).
   • Добавляем и вычитаем 16 внутри скобок: ((x^2 + 8x + 16 - 16)).
   • Это позволяет переписать как полный квадрат: ((x + 4)^2 - 16).

   Для (y^2 - 4y):

   • Найдем число, которое нужно добавить и вычесть: ((\frac{-4}{2})^2 = 4).
   • Добавляем и вычитаем 4 внутри скобок: ((y^2 - 4y + 4 - 4)).
   • Это позволяет переписать как полный квадрат: ((y - 2)^2 - 4).

3. Подставим обратно в уравнение:

   [ (x + 4)^2 - 16 + (y - 2)^2 - 4 = -40 ]

4. Упростим выражение:

   [ (x + 4)^2 + (y - 2)^2 - 20 = -40 ]

5. Переносим -20 на правую сторону:

   [ (x + 4)^2 + (y - 2)^2 = -40 + 20 ]

   [ (x + 4)^2 + (y - 2)^2 = -20 ]

Результат показывает, что у нас получилось уравнение с отрицательным радиусом квадратов: (-20). Поскольку квадрат радиуса (r^2) не может быть отрицательным числом, это уравнение не может представлять окружность в действительных числах.

Таким образом, данное уравнение не является уравнением окружности в геометрическом смысле на плоскости.

Данное уравнение не является уравнением окружности, так как не имеет вид уравнения окружности (x - a)² + (y - b)² = r².

Для определения, является ли данное уравнение уравнением окружности, нужно привести его к стандартному виду уравнения окружности.

Стандартное уравнение окружности имеет вид (x - a)² + (y - b)² = r², где (a, b) - координаты центра окружности, r - радиус окружности.

Данное уравнение x² + y² + 8x - 4y + 40 = 0 можно преобразовать следующим образом: x² + 8x + y² - 4y = -40 (x² + 8x + 16) + (y² - 4y + 4) = -40 + 16 + 4 (x + 4)² + (y - 2)² = -20 + 20 (x + 4)² + (y - 2)² = 0

Таким образом, получившееся уравнение окружности имеет вид (x + 4)² + (y - 2)² = 0. Однако, так как радиус окружности не может быть равен нулю, данное уравнение не описывает окружность, а представляет собой точку (−4, 2). Таким образом, данное уравнение не является уравнением окружности.