Апофема правильной 4х угольной пирамиды 6см,высота пирамиды равна 3 корня из 2 см.Найти:а)сторону основания пирамиды б)угол между боковой гранью и плоскостью основания в)угол,образованный боковым ребром и плоскостью основания г)площадь боковой поверхности д)площадь полной поверхности
Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться формулами, связанными с геометрией пирамид.
а) Сторона основания пирамиды: По определению, апофема - это отрезок, проведенный из вершины пирамиды до центра ее основания. Таким образом, апофема равна радиусу вписанной в основание пирамиды окружности. Обозначим сторону основания пирамиды как "a", тогда радиус вписанной окружности равен половине стороны основания, то есть r = a/2. С учетом данной информации и равенства треугольника, мы можем посчитать сторону основания пирамиды: r^2 + h^2 = s^2 (a/2)^2 + (3√2)^2 = 6^2 a^2/4 + 18 = 36 a^2/4 = 18 a^2 = 72 a = √72 = 6√2 cm
б) Угол между боковой гранью и плоскостью основания: Для нахождения угла между боковой гранью и плоскостью основания воспользуемся тангенсом данного угла, который равен отношению высоты пирамиды к радиусу ее основания: tg(угол) = h / r tg(угол) = 3√2 / 6 угол = arctg(1/2) ≈ 26.57°
в) Угол, образованный боковым ребром и плоскостью основания: Для нахождения данного угла воспользуемся косинусом, который равен отношению радиуса основания к высоте пирамиды: cos(угол) = r / h cos(угол) = 6 / 3√2 угол = arccos(2/√6) ≈ 55.79°
г) Площадь боковой поверхности: Площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему: Sбок = (P a) / 2 Sбок = (4 6√2) / 2 Sбок = 12√2 cm^2
д) Площадь полной поверхности: Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания, боковой поверхности и площади всех боковых граней: Sполн = Sосн + Sбок Sполн = a^2 + 4 Sбок Sполн = (6√2)^2 + 4 12√2 Sполн = 72 + 48√2 cm^2
Для решения задачи нам понадобится разобраться с некоторыми геометрическими свойствами и взаимосвязями в правильной четырехугольной пирамиде.
а) Находим сторону основания пирамиды: Правильная четырехугольная пирамида имеет в основании квадрат. Апофема пирамиды является высотой боковой грани, которая опускается из вершины пирамиды на середину стороны основания. Таким образом, боковая грань представляет собой равнобедренный треугольник, в котором апофема (6 см) является высотой, а половина стороны квадрата – это основание этого треугольника.
Высота пирамиды ( h = 3\sqrt{2} ) см опускается из вершины пирамиды в центр квадрата основания и делит его на два равных прямоугольных треугольника, где гипотенуза – это апофема (6 см), а один из катетов – это высота пирамиды ( h ). Используя теорему Пифагора, найдем другой катет, который равен половине диагонали квадрата: [ 6^2 = (3\sqrt{2})^2 + d^2 ] [ 36 = 18 + d^2 ] [ d^2 = 18 ] [ d = 3\sqrt{2} \, \text{см} ]
Так как ( d ) – половина диагонали квадрата, полная диагональ ( D = 2d = 6\sqrt{2} ) см. Сторона квадрата ( a ) связана с диагональю формулой ( a\sqrt{2} = D ), откуда: [ a\sqrt{2} = 6\sqrt{2} ] [ a = 6 \, \text{см} ]
б) Угол между боковой гранью и плоскостью основания: Это угол между апофемой и высотой пирамиды. Используя найденные катеты прямоугольного треугольника: [ \tan(\theta) = \frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = 1 ] [ \theta = 45^\circ ]
в) Угол, образованный боковым ребром и плоскостью основания: Для этого угла нужно рассмотреть треугольник, образованный боковым ребром, высотой пирамиды и половиной стороны квадрата. Найдем длину бокового ребра ( l ) из треугольника с гипотенузой ( l ) и катетами ( 3 ) см и ( 3\sqrt{2} ) см: [ l^2 = 3^2 + (3\sqrt{2})^2 = 9 + 18 = 27 ] [ l = 3\sqrt{3} \, \text{см} ]
Теперь угол ( \phi ) между боковым ребром и плоскостью основания: [ \sin(\phi) = \frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} ] [ \phi \approx 35.26^\circ ] (приблизительное значение)
г) Площадь боковой поверхности: Площадь одной боковой грани: [ S{tri} = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18 \, \text{см}^2 ] Таких граней четыре, поэтому: [ S{side} = 4 \times 18 = 72 \, \text{см}^2 ]
д) Площадь полной поверхности: Площадь основания (квадрата): [ S{base} = 6 \times 6 = 36 \, \text{см}^2 ] Полная площадь: [ S{total} = 72 + 36 = 108 \, \text{см}^2 ]
Таким образом, мы нашли все необходимые параметры и площади.
