Апофема четырехугольной правильной пирамиды равна L, а плоский угол при вершине-альфа. Найдите площадь...

Площадь полной поверхности пирамиды равна S = L^2 + 2L^2 * tg(α/2).

Чтобы найти площадь полной поверхности четырехугольной правильной пирамиды, нужно рассмотреть ее составляющие: основание, которое является квадратом, и четыре боковые треугольные грани.

1. Основание пирамиды: Поскольку основание пирамиды — квадрат, нам нужно найти его сторону. Обозначим сторону квадрата за ( a ).

2. Боковые грани: Каждая боковая грань пирамиды — равнобедренный треугольник с апофемой (высотой) ( L ) и основанием ( a ).

3. Связь апофемы и плоского угла: Плоский угол при вершине пирамиды, обозначенный как ( \alpha ), это угол между двумя боковыми гранями. Если провести перпендикуляры от вершины пирамиды к серединам сторон основания, образуется два равнобедренных треугольника. В каждом из них апофема является высотой, ( L ).

   Если рассмотреть проекцию отрезка вершина-центр основания на плоскость основания, то можно воспользоваться тригонометрическими функциями: [ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{a/2}{h} ] где ( h ) — высота пирамиды от центра основания до вершины.

   Но апофема ( L ), является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, где катеты ( h ) и ( a/2 ). Таким образом, можно выразить высоту ( h ) через апофему: [ \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{h}{L} ] [ h = L \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) ]

4. Выражение стороны квадрата: Подставим высоту в формулу для тангенса: [ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{a/2}{L \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)} ] [ a = 2L \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) ]

5. Площадь основания: [ S_{\text{осн}} = a^2 = \left(2L \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2 = 4L^2 \cdot \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) ]

6. Площадь боковых граней: Площадь одной боковой грани (равнобедренного треугольника) равна: [ S{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot L = \frac{1}{2} \cdot 2L \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cdot L = L^2 \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) ] Общая площадь всех четырёх боковых граней: [ S{\text{бок, общ}} = 4 \cdot L^2 \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) ]

7. Полная площадь поверхности: [ S{\text{полн}} = S{\text{осн}} + S_{\text{бок, общ}} = 4L^2 \cdot \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + 4L^2 \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) ]

Таким образом, полная площадь поверхности пирамиды будет: [ S_{\text{полн}} = 4L^2 \left( \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \right) ]

Для нахождения площади полной поверхности четырехугольной правильной пирамиды с апофемой L и углом при вершине α, нужно разложить поверхность пирамиды на четыре боковые грани и основание.

Площадь боковой поверхности пирамиды вычисляется по формуле: Sб = (1/2) периметр основания апофема.

Так как у нас четырехугольная правильная пирамида, то периметр основания равен 4 * сторона основания.

Площадь боковой поверхности: Sб = (1/2) 4 a L = 2 a * L.

Площадь основания пирамиды равна площади квадрата со стороной а: Sосн = a^2.

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания: Sп = Sб + Sосн = 2 a L + a^2.

Таким образом, площадь полной поверхности четырехугольной правильной пирамиды с апофемой L и углом при вершине α равна 2 a L + a^2.