8 класс Самостоятельная работа Вариант 2 Тема: «Признаки подобия треугольников» 1) Дано: А=50˚, С=60˚,...

Для того чтобы полностью решить задачи, рассмотрим каждую из них подробно.

Задача 1

Дано:

• ( \angle A = 50^\circ )
• ( \angle C = 60^\circ )
• ( \angle C_1 = 60^\circ )
• ( \angle B_1 = 70^\circ )

Доказать: ( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 )

Решение:

1. В треугольнике сумма углов равна (180^\circ). Значит, можем найти углы ( \angle B ) и ( \angle A_1 ):

   [ \angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ ]

   [ \angle A_1 = 180^\circ - \angle B_1 - \angle C_1 = 180^\circ - 70^\circ - 60^\circ = 50^\circ ]

2. Теперь у нас есть все углы треугольников: [ \triangle ABC: \angle A = 50^\circ, \angle B = 70^\circ, \angle C = 60^\circ ] [ \triangle A_1B_1C_1: \angle A_1 = 50^\circ, \angle B_1 = 70^\circ, \angle C_1 = 60^\circ ]

3. По признаку подобия треугольников (по двум углам), если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

4. Углы треугольников ( \triangle ABC ) и ( \triangle A_1B_1C_1 ) равны: ( \angle A = \angle A_1 = 50^\circ ), ( \angle B = \angle B_1 = 70^\circ ), ( \angle C = \angle C_1 = 60^\circ ).

   Следовательно, ( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 ) (по двум углам).

Задача 2

Дано:

• ( AO = 12 )
• ( BO = 4 )
• ( CO = 30 )
• ( DO = 10 )
• ( \angle DBO = 61^\circ )
• ( AC \parallel DB )

Найти: ( \angle CAO ) и отношение площадей ( \triangle AOC ) и ( \triangle BOD ).

Решение:

1. ( AC \parallel DB ). Следовательно, углы ( \angle CAO ) и ( \angle DBO ) равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых и секущей ( OB ): [ \angle CAO = \angle DBO = 61^\circ ]

2. Теперь нужно найти отношение площадей ( \triangle AOC ) и ( \triangle BOD ).

   Площадь треугольника определяется как: [ S = \frac{1}{2}ab \sin \theta ] где ( a ) и ( b ) - стороны треугольника, а ( \theta ) - угол между ними.

   Для ( \triangle AOC ): [ S_{AOC} = \frac{1}{2} AO \cdot CO \cdot \sin \angle CAO = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 30 \cdot \sin 61^\circ ]

   Для ( \triangle BOD ): [ S_{BOD} = \frac{1}{2} BO \cdot DO \cdot \sin \angle DBO = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 10 \cdot \sin 61^\circ ]

   Теперь найдем отношение площадей ( \triangle AOC ) и ( \triangle BOD ): [ \frac{S{AOC}}{S{BOD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 30 \cdot \sin 61^\circ}{\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 10 \cdot \sin 61^\circ} = \frac{12 \cdot 30}{4 \cdot 10} = \frac{360}{40} = 9 ]

   Следовательно, отношение площадей ( \triangle AOC ) и ( \triangle BOD ) равно 9.

Ответы:

1. ( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 ).
2. ( \angle CAO = 61^\circ ), отношение площадей ( \triangle AOC ) и ( \triangle BOD ) равно 9.

1) Для доказательства подобия треугольников необходимо убедиться, что у них соответствующие углы равны. В данном случае углы А и А1 равны, углы С и С1 равны, а углы В и В1 равны. Следовательно, треугольники ΔАВС и ΔА1В1С1 подобны.

2) По условию, треугольник AOC прямоугольный (угол САО = 90˚), а треугольник ADB также прямоугольный (угол DAB = 90˚). Отношение площадей ΔАОС и ΔВОD равно отношению квадратов гипотенуз треугольников AOC и ADB: (12^2 + 30^2) / (4^2 + 10^2) = 1140 / 116 = 9,83.

1) Для доказательства подобия треугольников ΔАВС и ΔА1В1С1 необходимо убедиться, что у них соответствующие углы равны. Из условия видно, что углы А и А1 равны, так как они оба равны 50 градусов. Углы С и С1 также равны, так как они оба равны 60 градусов. Наконец, углы В и В1 равны, так как они оба равны 70 градусов. Таким образом, все углы треугольников равны, что подтверждает их подобие.

2) Для нахождения отношения площадей треугольников ΔАОС и ΔВОD, сначала нужно найти высоту треугольника ΔАОС, проведенную из вершины О. Так как угол С равен 30 градусов, то треугольник ΔАОС является равнобедренным, следовательно, высота, проведенная из вершины О, будет являться медианой и биссектрисой. Используя теорему косинусов, можно найти длину высоты и затем найти площадь треугольника ΔАОС. Затем, используя теорему синусов для треугольника ΔВОD, можно найти площадь этого треугольника. Отношение площадей ΔАОС и ΔВОD будет равно отношению площадей треугольников, которое можно выразить через соответствующие стороны и высоты.