2)Отрезки AB=CD равны и перпендикулярны отрезку BD.Докажите, что AD=CB.

Для доказательства равенства отрезков AD и CB воспользуемся свойствами перпендикулярных отрезков.

Поскольку отрезки AB и CD равны, то у них равны и длины, т.е. AB = CD. Также из условия известно, что отрезки AB и CD перпендикулярны отрезку BD. Из этого следует, что треугольники ABD и CDB являются прямоугольными, причем у них общий угол при вершине B.

Так как AB = CD и угол между отрезками AB и BD равен 90 градусам, то по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABD с гипотенузой AB и катетом BD выполнено соотношение AB^2 = AD^2 + BD^2.

Аналогично, для треугольника CDB с гипотенузой CD и катетом BD выполнено соотношение CD^2 = CB^2 + BD^2.

Из данных уравнений следует, что AD^2 + BD^2 = CB^2 + BD^2.

Сокращая общие слагаемые, получаем AD^2 = CB^2.

Отсюда следует, что AD = CB. Таким образом, доказано, что отрезки AD и CB равны.

Для доказательства равенства отрезков AD и CB в данной задаче воспользуемся свойствами прямоугольных треугольников и симметрии.

1. Рассмотрим треугольники ABD и CBD:

   • Отрезки AB и CD равны, то есть ( AB = CD ).
   • Отрезки AB и CD перпендикулярны отрезку BD. Это значит, что угол между AB и BD, а также угол между CD и BD равен 90 градусам.

2. Утверждение:

   Рассмотрим точку пересечения отрезков AB и CD как точку O. Поскольку AB и CD перпендикулярны к BD, точка O будет серединой отрезка BD, а также точкой пересечения высот треугольников ABD и CBD.

3. Треугольники ABD и CBD:

   • В треугольнике ABD угол при вершине B равен 90 градусов.
   • В треугольнике CBD угол при вершине B также равен 90 градусов.
   • Стороны AB и BD в треугольнике ABD равны соответственно сторонам CD и BD в треугольнике CBD, так как AB и CD равны и перпендикулярны BD.

   Таким образом, треугольники ABD и CBD прямоугольные с равными катетами AB и CD, и общим гипотенузным отрезком BD.

4. Равенство треугольников ABD и CBD:

   По теореме о равенстве прямоугольных треугольников, если два катета одного треугольника равны двум катетам другого треугольника, то такие треугольники равны.

   В данном случае:

   • ( AB = CD )
   • ( BD ) является общей стороной для обоих треугольников.

   Следовательно, треугольники ABD и CBD равны по катетам и гипотенузе.

5. Равенство отрезков AD и CB:

   Из равенства треугольников ABD и CBD следует, что соответствующие стороны данных треугольников равны. То есть:

   • ( AD ) в треугольнике ABD соответствует стороне ( CB ) в треугольнике CBD.

   Таким образом, ( AD = CB ).

Заключение: Мы доказали, что отрезки AD и CB равны, исходя из равенства треугольников ABD и CBD, которые имеют равные катеты и общую гипотенузу.