- На расстоянии 9 м от центра шара проведено сечение,длина окружности которого равна 24пи см.Найдите объем меньшего марового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения.
Для нахождения объема меньшего марового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения, нужно сначала найти радиус шара. Для этого воспользуемся формулой для длины окружности:
(L = 2\pi r),
где L - длина окружности, r - радиус.
Имеем: (24\pi = 2\pi r),
(r = 12) см.
Теперь найдем высоту меньшего марового сегмента. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:
(h^2 = r^2 - d^2),
где h - высота сегмента, d - расстояние от центра шара до плоскости сечения.
Имеем: (h^2 = 12^2 - 9^2),
(h^2 = 144 - 81),
(h^2 = 63),
(h = \sqrt{63}).
Теперь найдем объем меньшего марового сегмента. Объем сегмента можно найти по формуле:
(V = \frac{1}{3}\pi h(3R^2 + h^2)),
где V - объем сегмента, R - радиус шара, h - высота сегмента.
Подставляем известные значения: (V = \frac{1}{3}\pi \sqrt{63}(3\cdot 12^2 + 63)),
(V = \frac{1}{3}\pi \sqrt{63}(432 + 63)),
(V = \frac{1}{3}\pi \sqrt{63} \cdot 495),
(V \approx 1027.45) см³.
Таким образом, объем меньшего марового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения, равен приблизительно 1027.45 кубических сантиметров.
Объем меньшего марового сегмента шара, отсекаемого плоскостью сечения, равен 54π кубических сантиметров.
Для решения задачи начнем с нахождения радиуса шара. Пусть радиус шара равен ( R ), а радиус сечения шара плоскостью, которое находится на расстоянии 9 метров от центра, равен ( r ). Сначала найдем ( r ), зная длину окружности сечения:
[ 2\pi r = 24\pi \, \text{см} ] [ r = 12 \, \text{см} ]
Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения радиуса шара ( R ). Представим, что расстояние от центра шара до плоскости сечения (9 м) и радиус сечения ( r ) (12 см, что эквивалентно 0.12 м) образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой ( R ):
[ R^2 = r^2 + d^2 ] [ R^2 = 0.12^2 + 9^2 ] [ R^2 = 0.0144 + 81 ] [ R^2 = 81.0144 ] [ R \approx 9.0008 \, \text{м} ]
Точность до четырех знаков после запятой в данном случае не критична, и можно округлить ( R ) до 9 метров. Далее, вычислим высоту ( h ) меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью:
[ h = R - d = 9 - 9 = 0 \, \text{м} ]
Видимо, здесь была допущена ошибка в данных или в решении, так как высота сегмента не может быть нулевой. Пересмотрим расчеты:
[ h = R - d = 9 - 0.12 = 8.88 \, \text{м} ]
Теперь найдем объем меньшего шарового сегмента ( V ) по формуле: [ V = \frac{\pi h^2}{3} (3R - h) ]
Подставим значения: [ V = \frac{\pi (8.88)^2}{3} (3 \times 9 - 8.88) ] [ V = \frac{\pi \times 78.8544}{3} \times 18.12 ] [ V = \frac{245.5632 \times 18.12}{3} \pi ] [ V = 1481.0215 \pi ] [ V \approx 4652 \, \text{м}^3 ]
Таким образом, объем меньшего шарового сегмента примерно равен 4652 кубических метров.
