1)Середины сторон ABC имеют координаты: M(3;-2;5) N (3,5;-1;6) K(-1.5;1;2). Найдите координаты вершин ABC. 2) Даны точки A(-2;1;2) В(-6;3;-2) на оси аппликат. Найдите точку С, равноудаленную от точек А и В.
1)Середины сторон ABC имеют координаты: M(3;-2;5) N (3,5;-1;6) K(-1.5;1;2). Найдите координаты вершин ABC. 2) Даны точки A(-2;1;2) В(-6;3;-2) на оси аппликат. Найдите точку С, равноудаленную от точек А и В.
1) Координаты вершин ABC: A(6;0;8), B(0;5;3), C(0;-3;0). 2) Точка C(0;2;0).
Для начала, важно отметить, что если точки ( M ), ( N ), и ( K ) являются серединами сторон треугольника ( ABC ), то координаты вершин можно найти, используя следующие соотношения:
Обозначим координаты вершин ( A ), ( B ), и ( C ) как ( A(x_1, y_1, z_1) ), ( B(x_2, y_2, z_2) ), и ( C(x_3, y_3, z_3) ) соответственно. Используя формулу для нахождения координат середины отрезка, имеем: [ M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2}\right) = (3, -2, 5) ] [ N = \left(\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2}, \frac{z_2+z_3}{2}\right) = (3.5, -1, 6) ] [ K = \left(\frac{x_3+x_1}{2}, \frac{y_3+y_1}{2}, \frac{z_3+z_1}{2}\right) = (-1.5, 1, 2) ]
Решая систему уравнений относительно ( x_1, y_1, z_1 ), ( x_2, y_2, z_2 ), и ( x_3, y_3, z_3 ), получаем:
Решая эту систему уравнений, можно найти: [ x_1 = 4, y_1 = -3, z_1 = 7 ] [ x_2 = 2, y_2 = -1, z_2 = 3 ] [ x_3 = 5, y_3 = 1, z_3 = 9 ]
Таким образом, координаты вершин ( A(4, -3, 7) ), ( B(2, -1, 3) ), ( C(5, 1, 9) ).
Точка ( C ), равноудаленная от ( A ) и ( B ) на оси аппликат, имеет координаты формы ( C(x, y, z) ), где ( z ) — среднее арифметическое ( z )-координат точек ( A ) и ( B ), а ( x ) и ( y ) могут быть любыми, так как условие задачи не ограничивает их. Так как ( z_A = 2 ) и ( z_B = -2 ), то: [ z_C = \frac{z_A + z_B}{2} = \frac{2 - 2}{2} = 0 ]
Точка ( C ) находится на оси аппликат, значит, она имеет вид ( C(x, y, 0) ), где ( x ) и ( y ) — любые числа.
1) Для нахождения координат вершин треугольника ABC воспользуемся тем, что середина отрезка является средним арифметическим его концов.
Пусть координаты вершин треугольника ABC обозначены как A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) и C(x₃, y₃, z₃). Тогда координаты середин сторон трапеции равны:
M((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2, (z₁ + z₂) / 2) = (3, -2, 5) N((x₂ + x₃) / 2, (y₂ + y₃) / 2, (z₂ + z₃) / 2) = (3.5, -1, 6) K((x₃ + x₁) / 2, (y₃ + y₁) / 2, (z₃ + z₁) / 2) = (-1.5, 1, 2)
Решив систему уравнений, получим координаты вершин треугольника ABC:
A(0, -3, 8), B(7, 0, 4), C(-5, 3, 6)
2) Чтобы найти точку C, равноудаленную от точек A и B, нужно найти середину отрезка AB.
Координаты середины отрезка AB равны ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2, (z₁ + z₂) / 2). Подставляя координаты точек A и B, получаем ( (-2 - 6) / 2, (1 + 3) / 2, (2 + (-2)) / 2 ) = (-4, 2, 0).
Таким образом, точка C с координатами (-4, 2, 0) равноудалена от точек A и B.
