1)Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD со сторонами 4 и 8 см, угол BAD=60...

Для решения данной задачи нам необходимо найти высоту призмы, а затем вычислить площадь боковой поверхности.

1. Высота призмы: Из условия задачи известно, что угол между диагональю B1D и плоскостью основания равен 30 градусов. Так как B1D - диагональ параллелограмма ABCD, то она является диагональю этого параллелограмма. Таким образом, угол между диагоналями параллелограмма равен 30 градусов.

Для нахождения высоты призмы воспользуемся теоремой косинусов: h^2 = 4^2 + 8^2 - 2 4 8 cos(60) h^2 = 16 + 64 - 64 0.5 h^2 = 16 + 64 - 32 h^2 = 48 h = √48 = 4√3

Таким образом, высота призмы равна 4√3 см.

1. Площадь боковой поверхности призмы: Чтобы найти площадь боковой поверхности призмы, нужно найти периметр основания и умножить его на высоту призмы: П = 4 + 8 + 4 + 8 = 24 см Sб = П h = 24 4√3 = 96√3 см^2

Ответ: Площадь боковой поверхности призмы равна 96√3 квадратных сантиметров.

Площадь боковой поверхности призмы равна 64√3 квадратных сантиметра.

Для решения задачи начнем с нахождения площади параллелограмма ABCD, который служит основанием призмы. Площадь параллелограмма можно найти по формуле:

[ S = ab \sin(\alpha) ]

где ( a ) и ( b ) – стороны параллелограмма, а ( \alpha ) – угол между ними. В данном случае ( a = 4 ) см, ( b = 8 ) см, и ( \alpha = 60^\circ ). Таким образом, площадь основания:

[ S = 4 \cdot 8 \cdot \sin(60^\circ) = 32 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3} \text{ см}^2 ]

Теперь найдем высоту призмы. Для этого воспользуемся информацией о том, что диагональ ( B_1D ) образует с плоскостью основания угол 30 градусов. Представим ( B_1D ) как диагональ прямоугольной призмы, где одна сторона это высота призмы ( h ), а другая – диагональ основания ( BD ). Диагональ параллелограмма ( BD ) можно найти по теореме косинусов:

[ BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\alpha) = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) ] [ BD^2 = 16 + 64 - 32 \cdot \frac{1}{2} = 48 ] [ BD = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ см} ]

Диагональ ( B_1D ) и высота ( h ) связаны соотношением:

[ \cos(30^\circ) = \frac{h}{B_1D} ] [ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{4\sqrt{3}} ] [ h = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \text{ см} ]

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности призмы, которая состоит из четырех прямоугольников. Каждый прямоугольник образован сторонами основания и высотой призмы:

[ S{бок} = 2((AB + CD) \cdot h + (AD + BC) \cdot h) = 2((4 + 4) \cdot 6 + (8 + 8) \cdot 6) ] [ S{бок} = 2(48 + 96) = 2 \cdot 144 = 288 \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь боковой поверхности призмы равна 288 см².