1)Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD со сторонами 4 и 8 см, угол BAD=60...

Для решения данной задачи нам необходимо найти высоту призмы, а затем вычислить площадь боковой поверхности.

1. Высота призмы: Из условия задачи известно, что угол между диагональю B1D и плоскостью основания равен 30 градусов. Так как B1D - диагональ параллелограмма ABCD, то она является диагональю этого параллелограмма. Таким образом, угол между диагоналями параллелограмма равен 30 градусов.

Для нахождения высоты призмы воспользуемся теоремой косинусов: h^2 = 4^2 + 8^2 - 2 4 8 cos$60$ h^2 = 16 + 64 - 64 0.5 h^2 = 16 + 64 - 32 h^2 = 48 h = √48 = 4√3

Таким образом, высота призмы равна 4√3 см.

1. Площадь боковой поверхности призмы: Чтобы найти площадь боковой поверхности призмы, нужно найти периметр основания и умножить его на высоту призмы: П = 4 + 8 + 4 + 8 = 24 см Sб = П h = 24 4√3 = 96√3 см^2

Ответ: Площадь боковой поверхности призмы равна 96√3 квадратных сантиметров.

Площадь боковой поверхности призмы равна 64√3 квадратных сантиметра.

Для решения задачи начнем с нахождения площади параллелограмма ABCD, который служит основанием призмы. Площадь параллелограмма можно найти по формуле:

$S=ab\sin (\alpha )$

где $a$ и $b$ – стороны параллелограмма, а $\alpha$ – угол между ними. В данном случае $a=4$ см, $b=8$ см, и $\alpha ={60}^{\circ }$. Таким образом, площадь основания:

$S=4\cdot 8\cdot \sin ({60}^{\circ })=32\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=16\sqrt{3}{\text{ см}}^2$

Теперь найдем высоту призмы. Для этого воспользуемся информацией о том, что диагональ $B_{1}D$ образует с плоскостью основания угол 30 градусов. Представим $B_{1}D$ как диагональ прямоугольной призмы, где одна сторона это высота призмы $h$, а другая – диагональ основания $BD$. Диагональ параллелограмма $BD$ можно найти по теореме косинусов:

$B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos (\alpha )=4^2+8^2-2\cdot 4\cdot 8\cdot \cos ({60}^{\circ })$ $B{D}^2=16+64-32\cdot \frac{1}{2}=48$ $BD=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\text{ см}$

Диагональ $B_{1}D$ и высота $h$ связаны соотношением:

$\cos ({30}^{\circ })=\frac{h}{B_{1}D}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{h}{4\sqrt{3}}$ $h=4\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\text{ см}$

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности призмы, которая состоит из четырех прямоугольников. Каждый прямоугольник образован сторонами основания и высотой призмы:

[ S{бок} = 2$(AB+CD$ \cdot h + $AD+BC$ \cdot h) = 2$(4+4$ \cdot 6 + $8+8$ \cdot 6) ] [ S{бок} = 2$48+96$ = 2 \cdot 144 = 288 \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь боковой поверхности призмы равна 288 см².