1.Найдите значения выражения: 1)ctg^{2} 60+sin30 2)4cos^{2}45+tg^{2}30 2.Найдите cosa, tga, ctga, если...

Давай разберем каждый из вопросов по очереди.

1. Найдите значения выражений:

1) ( \cot^2 60^\circ + \sin 30^\circ )

Для начала вспомним основные значения тригонометрических функций для углов 60° и 30°.

• ( \cot 60^\circ = \frac{1}{\tan 60^\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} )
• ( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} )

Теперь подставим эти значения в выражение:

[ \cot^2 60^\circ + \sin 30^\circ = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + \frac{1}{2} ]

Посчитаем:

[ \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3} ]

Соответственно:

[ \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6} ]

Итак, значение выражения:

[ \cot^2 60^\circ + \sin 30^\circ = \frac{5}{6} ]

2) ( 4\cos^2 45^\circ + \tan^2 30^\circ )

Вспомним основные значения тригонометрических функций для углов 45° и 30°.

• ( \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} )
• ( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} )

Теперь подставим эти значения в выражение:

[ 4\cos^2 45^\circ + \tan^2 30^\circ = 4 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 ]

Посчитаем:

[ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} ] [ 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 ]

[ \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3} ]

Соответственно:

[ 2 + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3} ]

Итак, значение выражения:

[ 4\cos^2 45^\circ + \tan^2 30^\circ = \frac{7}{3} ]

2. Найдите ( \cos a ), ( \tan a ), ( \cot a ), если ( \sin a = \frac{1}{6} )

Используя основное тригонометрическое тождество:

[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 ]

Подставим ( \sin a = \frac{1}{6} ):

[ \left(\frac{1}{6}\right)^2 + \cos^2 a = 1 ] [ \frac{1}{36} + \cos^2 a = 1 ] [ \cos^2 a = 1 - \frac{1}{36} ] [ \cos^2 a = \frac{36}{36} - \frac{1}{36} = \frac{35}{36} ] [ \cos a = \pm \sqrt{\frac{35}{36}} = \pm \frac{\sqrt{35}}{6} ]

Теперь найдем ( \tan a ):

[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{1}{6}}{\pm \frac{\sqrt{35}}{6}} = \pm \frac{1}{\sqrt{35}} = \pm \frac{\sqrt{35}}{35} ]

И наконец, найдем ( \cot a ):

[ \cot a = \frac{1}{\tan a} = \pm \sqrt{35} ]

Итак, значения тригонометрических функций:

• ( \cos a = \pm \frac{\sqrt{35}}{6} )
• ( \tan a = \pm \frac{\sqrt{35}}{35} )
• ( \cot a = \pm \sqrt{35} )

Знак «плюс» или «минус» зависит от квадранта угла ( a ).

1. 1) ctg^{2} 60 = 1; sin30 = 1/2 Выражение равно 1 + 1/2 = 1.5

2) 4cos^{2}45 = 2; tg^{2}30 = 1/3 Выражение равно 2 + 1/3 = 2.33

1. Для sina = 1/6:

a) cosa = √(1 - (1/6)^2) = √(1 - 1/36) = √(35/36) = √35/6 b) tga = sina/cosa = (1/6) / (√35/6) = 1/√35 c) ctga = cosa/sina = √35/6 / (1/6) = √35

1. 1) ctg^2 60 + sin30

Сначала найдем значение ctg^2 60. Для этого воспользуемся тригонометрическими соотношениями: ctg^2 60 = 1/tg^2 60 = 1/(√3)^2 = 1/3

Теперь найдем sin30: sin30 = 1/2

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение: ctg^2 60 + sin30 = 1/3 + 1/2 = 2/6 + 3/6 = 5/6

2) 4cos^2 45 + tg^2 30

Для начала найдем значения cos^2 45 и tg^2 30: cos^2 45 = (1/√2)^2 = 1/2 tg^2 30 = (1/√3)^2 = 1/3

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение: 4cos^2 45 + tg^2 30 = 4*1/2 + 1/3 = 2 + 1/3 = 7/3

2. Дано: sina = 1/6

Найдем значения других тригонометрических функций:

cosa = √(1 - sina^2) = √(1 - (1/6)^2) = √(1 - 1/36) = √(35/36) = √35/6

tga = sina/cosa = (1/6) / (√35/6) = 1/√35 = √35/35

ctga = cosa/sina = (√35/6) / (1/6) = √35

Таким образом, значения тригонометрических функций, при условии sina = 1/6, равны: cosa = √35/6 tga = √35/35 ctga = √35