1)Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 11 см, а его измерения относятся как 6:6:7. Найдите диагонали граней параллелепипеда. 2)Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4, 4 и 2 см. Найдите расстояние от наименьшего ребра до наибольшей диагонали грани, скрещивающейся с ним. 3)Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равна a. Постройте сечение куба, проходящее через точки B1, D и середину ребра A1A и найдите его площадь.
1) Для нахождения диагоналей граней параллелепипеда воспользуемся теоремой Пифагора. Пусть a, b, c - измерения параллелепипеда. Тогда диагональ грани, соответствующей измерениям a и b, равна √(a^2 + b^2), диагональ грани, соответствующей измерениям a и c, равна √(a^2 + c^2), и диагональ грани, соответствующей измерениям b и c, равна √(b^2 + c^2).
Используя данные из условия (a:b:c = 6:6:7), мы можем найти значения a, b и c. После этого подставляем их в формулы для нахождения диагоналей граней и получаем ответ.
2) Для нахождения расстояния от наименьшего ребра до наибольшей диагонали грани, скрещивающейся с ним, можно воспользоваться теоремой Пифагора. Пусть a, b, c - измерения параллелепипеда. Тогда расстояние от наименьшего ребра до наибольшей диагонали грани, скрещивающейся с ним, равно √(a^2 + b^2 + c^2).
Подставив данные из условия (a = 4, b = 4, c = 2), мы можем найти расстояние от наименьшего ребра до наибольшей диагонали и получить ответ.
3) Сначала построим сечение куба, проходящее через точки B1, D и середину ребра A1A. Так как ребро куба равно a, то середина ребра A1A будет находиться на расстоянии a/2 от точки A1.
Построим сечение так, чтобы отрезок BD был перпендикулярен ребру AD куба. Тогда полученный треугольник BDA будет прямоугольным, и мы можем найти его площадь, используя формулу S = 1/2 a h, где h - высота треугольника, равная √(a^2 - (a/2)^2).
Вычислив площадь данного треугольника, мы получим ответ на задачу.
1) Диагонали граней параллелепипеда равны 6, 7 и 8 см. 2) Расстояние равно 3 см. 3) Площадь сечения равна a^2/2.
1) Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 11 см, а его измерения относятся как 6:6:7. Найдите диагонали граней параллелепипеда.
Для начала обозначим длины рёбер прямоугольного параллелепипеда как (6k), (6k) и (7k). По условию задачи, длина его диагонали равна 11 см. Диагональ прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:
[ \sqrt{(6k)^2 + (6k)^2 + (7k)^2} = 11 ]
Решим это уравнение:
[ \sqrt{36k^2 + 36k^2 + 49k^2} = 11 ]
[ \sqrt{121k^2} = 11 ]
[ 11k = 11 ]
[ k = 1 ]
Таким образом, длины рёбер прямоугольного параллелепипеда равны: 6 см, 6 см и 7 см.
Теперь найдём диагонали граней. Поскольку прямоугольный параллелепипед имеет три пары противоположных граней, вычислим длины диагоналей для каждой пары:
[ \text{Диагональ} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \, \text{см} ]
[ \text{Диагональ} = \sqrt{6^2 + 7^2} = \sqrt{36 + 49} = \sqrt{85} \, \text{см} ]
[ \text{Диагональ} = \sqrt{6^2 + 7^2} = \sqrt{85} \, \text{см} ]
Таким образом, диагонали граней прямоугольного параллелепипеда равны: (6\sqrt{2}) см и (\sqrt{85}) см (2 грани).
2) Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4, 4 и 2 см. Найдите расстояние от наименьшего ребра до наибольшей диагонали грани, скрещивающейся с ним.
Наименьшее ребро у нас равно 2 см. Рассмотрим грань, скрещивающуюся с ним и имеющую максимальную диагональ. Так как прямоугольный параллелепипед имеет размеры 4 см, 4 см и 2 см, мы рассматриваем диагональ грани 4 см x 4 см:
[ \text{Диагональ} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} ]
Теперь найдём расстояние от ребра 2 см до этой диагонали. Поскольку диагональ грани 4 см x 4 см лежит в плоскости, проходящей через ребра 4 см и 4 см, расстояние от ребра 2 см до этой диагонали будет равно половине высоты параллелепипеда, противоположной стороне грани:
[ \text{Расстояние} = \frac{2}{2} = 1 \, \text{см} ]
3) Ребро куба ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ) равно ( a ). Постройте сечение куба, проходящее через точки ( B_1 ), ( D ) и середину ребра ( A_1A ) и найдите его площадь.
Пусть ( M ) — середина ребра ( A_1A ). Рассмотрим сечение куба, проходящее через точки ( B_1 ), ( D ) и ( M ).
Точка ( M ) делит ребро ( A_1A ) пополам, поэтому её координаты в системе координат, где вершина куба ( A ) находится в начале координат (0,0,0), будут ((0, 0, \frac{a}{2})).
Координаты точек ( B_1 ), ( D ) и ( M ):
Найдём векторы, лежащие в плоскости сечения:
[ \overrightarrow{B_1D} = (a, a, -a) ]
[ \overrightarrow{B_1M} = (-a, 0, -\frac{a}{2}) ]
Найдём векторное произведение этих векторов, чтобы получить нормаль к плоскости сечения:
[ \overrightarrow{B_1D} \times \overrightarrow{B_1M} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ a & a & -a \ -a & 0 & -\frac{a}{2} \end{vmatrix} ]
[ = \mathbf{i} \left(a \cdot (-\frac{a}{2}) - (-a \cdot 0)\right) - \mathbf{j} \left(a \cdot (-\frac{a}{2}) - (-a \cdot (-a))\right) + \mathbf{k} \left(a \cdot 0 - (a \cdot -a)\right) ]
[ = \mathbf{i} \left(-\frac{a^2}{2}\right) - \mathbf{j} \left(-\frac{a^2}{2} - a^2\right) + \mathbf{k} \left(0 + a^2\right) ]
[ = -\frac{a^2}{2} \mathbf{i} - \frac{3a^2}{2} \mathbf{j} + a^2 \mathbf{k} ]
Площадь треугольника в плоскости сечения можно найти, используя формулу площади треугольника через длину нормали:
[ S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{B_1D} \times \overrightarrow{B_1M}| ]
Длина нормали:
[ |\overrightarrow{B_1D} \times \overrightarrow{B_1M}| = \sqrt{\left(-\frac{a^2}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3a^2}{2}\right)^2 + (a^2)^2} ]
[ = \sqrt{\frac{a^4}{4} + \frac{9a^4}{4} + a^4} = \sqrt{\frac{11a^4}{4}} = \frac{a^2\sqrt{11}}{2} ]
Площадь треугольника:
[ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2\sqrt{11}}{2} = \frac{a^2\sqrt{11}}{4} ]
