1.Диагональ осевого сечения цилиндра равна 16 см и наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 30 градусов.Найдите объём цилиндра. 2.Сечение,параллельное оси цилиндра и удалённое от неё на 8 см,имеет площадь 60 см в квадрате.Высота цилиндра равна 5 см.Найдите объём цилиндра.
Чтобы решить указанные задачи, давайте рассмотрим их по отдельности.
Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, высота которого равна высоте цилиндра ( h ), а длина — это диаметр основания цилиндра ( 2r ).
1.1. Известно, что диагональ осевого сечения равна 16 см и наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов. В этом случае диагональ ( d ) осевого сечения является гипотенузой прямоугольного треугольника, где высота цилиндра ( h ) и диаметр основания ( 2r ) являются катетами.
1.2. Используем тригонометрию: [ \sin 30^\circ = \frac{h}{d} = \frac{1}{2} ]
Отсюда следует, что: [ h = \frac{d}{2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ см} ]
1.3. Известно, что: [ \cos 30^\circ = \frac{2r}{d} = \frac{\sqrt{3}}{2} ]
Отсюда: [ 2r = d \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \text{ см} ]
1.4. Радиус основания: [ r = \frac{2r}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см} ]
1.5. Объём цилиндра: [ V = \pi r^2 h = \pi (4\sqrt{3})^2 \cdot 8 = \pi \cdot 48 \cdot 8 = 384\pi \text{ куб. см} ]
2.1. Сечение параллельно оси цилиндра и на удалении 8 см от оси. Это означает, что это сечение — прямоугольник, высота которого равна высоте цилиндра ( h = 5 ) см, а длина — хорда круга основания цилиндра.
2.2. Площадь данного сечения равна 60 см². Если обозначить длину хорды как ( l ), то: [ l \times h = 60 ]
Отсюда: [ l = \frac{60}{5} = 12 \text{ см} ]
2.3. Используем геометрию круга. Пусть ( r ) — радиус основания цилиндра. Хорда удалена от центра на 8 см, и её длина равна 12 см. Используем формулу для хорды: [ l = 2 \sqrt{r^2 - d^2} ]
где ( d = 8 ) см — расстояние от центра до хорды.
2.4. Подставим известные значения: [ 12 = 2 \sqrt{r^2 - 8^2} ]
[ 6 = \sqrt{r^2 - 64} ]
Возводим в квадрат: [ 36 = r^2 - 64 ]
[ r^2 = 100 ]
[ r = 10 \text{ см} ]
2.5. Объём цилиндра: [ V = \pi r^2 h = \pi \cdot 100 \cdot 5 = 500\pi \text{ куб. см} ]
Таким образом, объём первого цилиндра равен ( 384\pi ) куб. см, а второго — ( 500\pi ) куб. см.
Для нахождения объема цилиндра сначала найдем радиус основания цилиндра. Пусть r - радиус основания цилиндра. Тогда диагональ осевого сечения цилиндра равна √(2r)^2 + h^2 = 16 см, где h - высота цилиндра. Из условия задачи получаем, что √(2r)^2 + h^2 = 16 см и угол между диагональю и плоскостью основания цилиндра равен 30 градусов. Так как тангенс угла равен h/(2r), то h/(2r) = tg(30°) = 1/√3. Отсюда h = (2r)/√3. Также известно, что объем цилиндра равен V = πr^2h = πr^2(2r)/√3 = 2πr^3/√3. Подставляем h = (2r)/√3 в формулу для объема цилиндра: V = 2πr^3/√3 = 2π(16/√3)^3 = 2π(4096/(3√3)) = 5461.3 см^3.
Для нахождения объема цилиндра сначала найдем радиус основания цилиндра. Пусть r - радиус основания цилиндра. Тогда площадь сечения параллельного оси цилиндра равна S = πr^2 = 60 см^2. Отсюда r = √(60/π) ≈ 4.34 см. Также известно, что высота цилиндра равна 5 см. Объем цилиндра V = πr^2h = π(4.34)^2*5 ≈ 298.7 см^3.
