1.Дано вектор а {2;3}, вектор б{9;-9}, вектор с=вектор а-1/3вектора б Найдите : а)координаты вектора...

Задача 1

Даны векторы:

• ( \vec{a} = {2; 3} )
• ( \vec{b} = {9; -9} )
• ( \vec{c} = \vec{a} - \frac{1}{3}\vec{b} )

а) Координаты вектора ( \vec{c} )

Чтобы найти координаты вектора ( \vec{c} ), сначала найдем ( \frac{1}{3}\vec{b} ): [ \frac{1}{3}\vec{b} = \frac{1}{3}{9, -9} = {3, -3} ]

Теперь вычтем ( \frac{1}{3}\vec{b} ) из ( \vec{a} ): [ \vec{c} = \vec{a} - \frac{1}{3}\vec{b} = {2, 3} - {3, -3} = {2 - 3, 3 + 3} = {-1, 6} ]

б) Длина вектора ( \vec{c} )

Длина вектора вычисляется по формуле: [ |\vec{c}| = \sqrt{x^2 + y^2} ] [ |\vec{c}| = \sqrt{(-1)^2 + 6^2} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37} ]

в) Разложение вектора ( \vec{c} ) по координатным векторам ( \vec{i} ) и ( \vec{j} )

[ \vec{c} = -1\vec{i} + 6\vec{j} ]

Задача 2

Даны точки:

• ( A(-6, 1) )
• ( B(0, 5) )
• ( C(6, -4) )
• ( D(0, -8) )

Доказательство, что ( ABCD ) - параллелограмм

Чтобы доказать, что ( ABCD ) является параллелограммом, проверим, что противоположные стороны параллельны и равны.

Векторы сторон:

• ( \vec{AB} = B - A = {0 + 6, 5 - 1} = {6, 4} )
• ( \vec{CD} = D - C = {0 - 6, -8 + 4} = {-6, -4} )
• ( \vec{BC} = C - B = {6 - 0, -4 - 5} = {6, -9} )
• ( \vec{DA} = A - D = {-6 - 0, 1 + 8} = {-6, 9} )

( \vec{AB} ) и ( \vec{CD} ) противоположны и ( \vec{AB} = -\vec{CD} ), ( \vec{BC} ) и ( \vec{DA} ) противоположны и ( \vec{BC} = -\vec{DA} ). Таким образом, ( ABCD ) - параллелограмм.

Периметр ( ABCD )

Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме длин двух смежных сторон: [ P = 2(|\vec{AB}| + |\vec{BC}|) ] [ |\vec{AB}| = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{52} ] [ |\vec{BC}| = \sqrt{6^2 + (-9)^2} = \sqrt{117} ] [ P = 2(\sqrt{52} + \sqrt{117}) ]

Задача 3

Даны точки:

• ( С(m, 3) )
• ( Д(4, 1) )
• ( Ф(2, -1) )

И условие ( \vec{СД} = \vec{ДФ} ).

Нахождение ( m )

[ \vec{СД} = Д - С = {4 - m, 1 - 3} = {4 - m, -2} ] [ \vec{ДФ} = Ф - Д = {2 - 4, -1 - 1} = {-2, -2} ]

Так как ( \vec{СД} = \vec{ДФ} ): [ {4 - m, -2} = {-2, -2} ] [ 4 - m = -2 ] [ m = 6 ]

Ответы:

1. ( \vec{c} = {-1, 6} ), ( |\vec{c}| = \sqrt{37} ), ( \vec{c} = -1\vec{i} + 6\vec{j} )
2. ( ABCD ) - параллелограмм, периметр примерно ( 2(\sqrt{52} + \sqrt{117}) )
3. ( m = 6 )

1. а) Координаты вектора с: (-1; 12) б) Длина вектора с: √145 в) Разложение вектора с по координатным векторам i и j: с = -1i + 12j

2. Докажем, что АВСД - параллелограмм: Векторы AB = (6; 4), BC = (6; -9), CD = (-6; -9), DA = (-6; -9) AB = CD, BC = DA Значит, АВСД - параллелограмм. Периметр параллелограмма: 2(AB+BC) = 2(10√2) = 20√2

3. Вектор СД = ДФ (4-m; 1-3) = (2-4; -1-1) (4-m; -2) = (-2; -2) 4-m = -2 => m = 6

1. а) Координаты вектора с: c = a - (1/3) b c = (2;3) - (1/3) (9;-9) c = (2;3) - (3; -3) c = (-1;6)

б) Длина вектора с: |c| = sqrt((-1)^2 + 6^2) |c| = sqrt(1 + 36) |c| = sqrt(37)

Разложение вектора c по координатным векторам i и j: c = -1 i + 6 j

1. Для того чтобы доказать, что ABCD - параллелограмм, необходимо показать, что векторы AB и CD равны. AB = B - A = (0 - (-6); 5 -1) = (6; 4) CD = D - C = (0 - 4; -8 - 1) = (-4; -9)

Так как AB ≠ CD, то ABCD не является параллелограммом.

1. Вектор CD = D - C = (4 - m; 1 - 3) = (4 - m; -2) Вектор DF = F - D = (2 - 4; -1 - 1) = (-2; -2)

Так как CD = DF, то (4 - m; -2) = (-2; -2) Отсюда получаем, что 4 - m = -2 и -2 = -2. Из уравнения 4 - m = -2 находим m = 6.