1)Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует угол 45 градусов с плоскостью основания . Найдите высоту пирамиды , если сторона основания равна 15.
2) Боковая грань правильной треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол , равный 60 градусов. Найдите сторону основания, если высота пирамиды равна 10√3.
1) Для нахождения высоты правильной треугольной пирамиды, в которой боковое ребро образует угол 45 градусов с плоскостью основания, воспользуемся тригонометрическими соотношениями и геометрическими свойствами пирамид.
Обозначим следующие величины:
Дано: [ a = 15 ] [ \angle (\text{боковое ребро и плоскость основания}) = 45^\circ ]
В правильной треугольной пирамиде боковое ребро ( l ) образует угол ( 45^\circ ) с плоскостью основания. Это значит, что высота пирамиды ( h ) и апофема основания (высота правильного треугольника со стороной ( a )) образуют прямоугольный треугольник с углом ( 45^\circ ).
Пусть ( H ) — проекция вершины пирамиды на плоскость основания, тогда ( OH ) — высота правильного треугольника со стороной ( a ):
[ OH = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{15 \sqrt{3}}{2} ]
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ( OHH' ), где ( H' ) — вершина пирамиды. В этом треугольнике: [ \tan 45^\circ = \frac{h}{OH} ]
Так как ( \tan 45^\circ = 1 ), то: [ 1 = \frac{h}{OH} ] [ h = OH ]
Следовательно: [ h = \frac{15 \sqrt{3}}{2} ]
Таким образом, высота правильной треугольной пирамиды равна ( \frac{15 \sqrt{3}}{2} ).
2) Для нахождения стороны основания правильной треугольной пирамиды, в которой боковая грань образует угол 60 градусов с плоскостью основания, воспользуемся подходящими тригонометрическими соотношениями.
Обозначим следующие величины:
Дано: [ h = 10\sqrt{3} ] [ \angle (\text{боковая грань и плоскость основания}) = 60^\circ ]
В правильной треугольной пирамиде боковая грань образует угол 60 градусов с плоскостью основания. Это значит, что апофема боковой грани и высота пирамиды образуют прямоугольный треугольник с углом 60 градусов.
Пусть ( H ) — проекция вершины пирамиды на плоскость основания. В этом треугольнике: [ \tan 60^\circ = \frac{OH}{h} ]
Так как ( \tan 60^\circ = \sqrt{3} ), то: [ \sqrt{3} = \frac{OH}{10\sqrt{3}} ] [ OH = 30 ]
Теперь ( OH ) — высота правильного треугольника со стороной ( a ):
[ OH = \frac{a \sqrt{3}}{2} ]
Решаем это уравнение для ( a ): [ 30 = \frac{a \sqrt{3}}{2} ] [ a \sqrt{3} = 60 ] [ a = \frac{60}{\sqrt{3}} ] [ a = 20 \sqrt{3} ]
Таким образом, сторона основания правильной треугольной пирамиды равна ( 20 \sqrt{3} ).
1) Высота пирамиды равна 15√3. 2) Сторона основания равна 10.
1) Пусть h - высота пирамиды, a - сторона основания. Так как боковое ребро образует угол 45 градусов с плоскостью основания, то треугольник, образованный этим ребром, высотой и половиной стороны основания, является прямоугольным. Поэтому мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты пирамиды: a/2)^2 + h^2 = (a√2)^2 a^2/4 + h^2 = 2a^2 h^2 = 2a^2 - a^2/4 h^2 = 7a^2/4 h = a√7/2
Так как сторона основания равна 15, то высота пирамиды равна: h = 15√7/2
2) Пусть h - высота пирамиды, a - сторона основания. Так как боковая грань образует с плоскостью основания угол 60 градусов, то треугольник, образованный этой гранью, высотой и половиной стороны основания, является равносторонним. Поэтому сторона основания равна длине боковой грани, которая равна h√3. Таким образом, сторона основания равна: a = h√3 = 10√3
Итак, ответы на вопросы: 1) Высота пирамиды равна 15√7/2 2) Сторона основания равна 10√3
