1. Задача : в равнобедренной трапеции с острым углом 30 градусов сумма оснований равна 22 см , а периметр...

1. Пусть основания трапеции равны a и b, а высота h. Так как сумма оснований равна 22 см, то a + b = 22. Периметр трапеции равен a + b + 2h = 30. Так как угол при основании трапеции равен 30 градусов, то можно построить равносторонний треугольник с основанием a, высотой h и гипотенузой, равной половине периметра трапеции (15 см). Таким образом, a = b = 11 см. Площадь трапеции равна S = (a + b) h / 2 = 11 h.

2. Пусть основания трапеции равны a и b, а диагонали пересекаются в точке O. Так как диагонали пересекаются под прямым углом, то точка O является центром окружности, описанной вокруг трапеции. Пусть диагонали равны d1 и d2. Так как сумма оснований равна 18 см, то a + b = 18. Также из свойств окружности мы знаем, что диагонали равны половине периметра трапеции, то есть d1 + d2 = 2(a + b). Решив систему уравнений, найдем a, b, d1 и d2. Площадь трапеции равна S = (a + b) * h / 2, где h - высота трапеции, которую можно найти, используя теорему Пифагора для треугольника с основанием a, диагональю d1 и высотой h.

Задача 1:

Условие: В равнобедренной трапеции с острым углом 30 градусов сумма оснований равна 22 см, а периметр равен 30 см. Найдите площадь трапеции.

Решение:

1. Обозначения и свойства:

   • Пусть (ABCD) — наша трапеция, где (AB) и (CD) — основания ( (AB < CD) ), а (AD) и (BC) — боковые стороны.
   • Сумма оснований: (AB + CD = 22 \, \text{см}).
   • Периметр: (AB + CD + AD + BC = 30 \, \text{см}).
   • Острый угол при основании (AB) равен (30^\circ).

2. Нахождение боковых сторон:

   • Пусть (AD = BC = a).
   • Тогда периметр можно записать как (AB + CD + 2a = 30).
   • Подставим сумму оснований: (22 + 2a = 30), откуда (2a = 8) и (a = 4 \, \text{см}).

3. Нахождение оснований:

   • Пусть (AB = x), тогда (CD = 22 - x).

4. Использование угла:

   • В равнобедренной трапеции с углом (30^\circ) высота (h) опущенная из вершины (D) на основание (AB) образует прямоугольный треугольник с катетами (h) и ( \frac{CD - AB}{2} = \frac{22 - x - x}{2} = \frac{22 - 2x}{2} = 11 - x).
   • В этом прямоугольном треугольнике (\tan 30^\circ = \frac{h}{11 - x}). Так как (\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}), имеем (h = \frac{11 - x}{\sqrt{3}}).

5. Использование боковых сторон:

   • В прямоугольном треугольнике с гипотенузой (AD = 4 \, \text{см}) и катетами (h) и (11 - x), имеем: [ h^2 + (11 - x)^2 = 16 ] Подставим (h): [ \left(\frac{11 - x}{\sqrt{3}}\right)^2 + (11 - x)^2 = 16 ] Упростим: [ \frac{(11 - x)^2}{3} + (11 - x)^2 = 16 ] [ \frac{(11 - x)^2 + 3(11 - x)^2}{3} = 16 ] [ \frac{4(11 - x)^2}{3} = 16 ] [ 4(11 - x)^2 = 48 ] [ (11 - x)^2 = 12 ] [ 11 - x = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} ] [ x = 11 - 2\sqrt{3} ] Тогда (AB = 11 - 2\sqrt{3}) и (CD = 22 - (11 - 2\sqrt{3}) = 11 + 2\sqrt{3}).

6. Нахождение высоты: [ h = \frac{11 - (11 - 2\sqrt{3})}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 ]

7. Нахождение площади: [ S = \frac{1}{2}(AB + CD) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 22 \cdot 2 = 22 \, \text{см}^2 ]

Задача 2:

Условие: Диагонали равнобедренной трапеции пересекаются под прямым углом, а сумма оснований равна 18 см. Найдите площадь трапеции.

Решение:

1. Обозначения и свойства:

   • Пусть (ABCD) — трапеция с основаниями (AB) и (CD) ( (AB < CD) ).
   • Сумма оснований: (AB + CD = 18 \, \text{см}).
   • Диагонали пересекаются под прямым углом.

2. Использование свойств:

   • В равнобедренной трапеции с диагоналями, пересекающимися под прямым углом, выполняется отношение: ((AB \cdot CD) = (AD^2 + BC^2)).

3. Нахождение диагоналей:

   • Пусть (AB = a), (CD = b). Тогда (a + b = 18).
   • Диагонали равнобедренной трапеции с пересечением под прямым углом дают нам, что (a \cdot b) равно квадрату боковой стороны (AD = BC = c).
   • Воспользуемся формулой площади трапеции: [ S = \frac{1}{2}(a + b) \cdot h ]

4. Нахождение высоты:

   • Высота (h) равна ( \frac{\sqrt{a \cdot b}}{2} ).

5. Нахождение площади:

   • Подставим сумму оснований и высоту: [ S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot \frac{\sqrt{a \cdot b}}{2} ] Так как (a + b = 18) и (a \cdot b = c^2), подставим: [ S = \frac{18 \cdot \sqrt{a \cdot b}}{4} = \frac{18 \cdot \sqrt{c^2}}{4} = \frac{18 \cdot c}{4} = \frac{18 \cdot \frac{a + b}{2}}{4} = \frac{18 \cdot 9}{4} = 40.5 \, \text{см}^2 ]

Ответы:

1. Площадь трапеции в первой задаче равна (22 \, \text{см}^2).
2. Площадь трапеции во второй задаче равна (40.5 \, \text{см}^2).

1. Пусть основания трапеции равны a и b. Тогда a + b = 22 см и a + 2b + a = 30 см. Решив систему уравнений, получаем a=8 см и b=14 см. Площадь трапеции равна S = ((a + b) / 2) h = (22/2) h = 11h. Так как угол при основании равен 30 градусам, то высота h = a tg(30) = 8 tg(30) ≈ 4.62 см. Итак, S ≈ 50.82 см².

2. Пусть основания трапеции равны a и b. Тогда a + b = 18 см. Диагонали равнобедренной трапеции пересекаются под прямым углом, следовательно, трапеция является прямоугольной. Площадь прямоугольной трапеции равна S = (a + b) h / 2 = 18 h / 2 = 9h. Так как угол между диагоналями прямоугольной трапеции равен 90 градусам, то h = √(a² - b²) = √((a + b)(a - b)) = √(18 * (a - b)). Подставив a + b = 18 и a = b получаем h = 0. Итак, площадь трапеции равна 0.