1. в правильный четырехугольник со стороной 4 см вписана окружность. найдите радиус окружности; сторону...

Давайте подробно разберем каждую из задач:

1. Вписанная окружность и описанный треугольник

Правильный четырехугольник:

Правильным четырехугольником с вписанной окружностью является квадрат. Если сторона квадрата равна 4 см, то радиус вписанной окружности можно найти следующим образом:

Радиус ( r ) вписанной окружности в квадрат со стороной ( a ) равен (\frac{a}{2}). Для нашего квадрата:

[ r = \frac{4}{2} = 2 \text{ см} ]

Описанный треугольник:

Теперь найдем сторону правильного треугольника, описанного около данной окружности. Для правильного треугольника радиус вписанной окружности ( r ) связан со стороной ( a ) треугольника следующим образом:

[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} ]

У нас ( r = 2 ), поэтому:

[ 2 = \frac{a \sqrt{3}}{6} ]

Решим это уравнение для ( a ):

[ a \sqrt{3} = 12 ]

[ a = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12 \times \sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} ]

Итак, сторона правильного треугольника, описанного около данной окружности, равна ( 4\sqrt{3} ) см.

2. Площадь сектора

Для сектора окружности формула длины дуги ( L ) равна:

[ L = r \cdot \theta ]

где ( r ) — радиус окружности, а ( \theta ) — центральный угол сектора в радианах.

В нашем случае:

[ 6 = 4 \cdot \theta ]

Отсюда находим ( \theta ):

[ \theta = \frac{6}{4} = 1.5 \text{ радиан} ]

Площадь сектора ( S ) можно найти по формуле:

[ S = \frac{1}{2} r^2 \theta ]

Подставим известные значения:

[ S = \frac{1}{2} \cdot 4^2 \cdot 1.5 = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 1.5 = 12 \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь сектора равна 12 см².

1. Радиус окружности, вписанной в правильный четырехугольник со стороной 4 см, равен 2 см. Сторона правильного треугольника, описанного около данной окружности, равна 8 см.

2. Площадь сектора равна 3π кв.см.

1. Радиус окружности, вписанной в правильный четырехугольник со стороной 4 см, равен половине диагонали четырехугольника. Диагональ равностороннего четырехугольника можно найти по формуле: (d = a \cdot \sqrt{2}), где (a) - длина стороны четырехугольника. Подставляя значение стороны (a = 4), получаем: (d = 4 \cdot \sqrt{2} \approx 5.66) см. Тогда радиус окружности будет равен половине диагонали: (r = \frac{d}{2} = \frac{4 \cdot \sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \sqrt{2} \approx 2.83) см.

Для нахождения стороны правильного треугольника, описанного около данной окружности, можно воспользоваться свойством правильного треугольника, в котором радиус описанной окружности равен половине стороны треугольника. Таким образом, сторона треугольника будет равна удвоенному радиусу описанной окружности: (a = 2r = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} = 4 \cdot \sqrt{2} \approx 5.66) см.

1. Площадь сектора можно найти по формуле (S = \frac{r^2 \cdot \alpha}{2}), где (r) - радиус сектора, (\alpha) - центральный угол в радианах. Длина дуги сектора равна (l = r \cdot \alpha), поэтому (\alpha = \frac{l}{r} = \frac{6}{4} = 1.5) радиан. Теперь подставляем значения в формулу площади сектора: (S = \frac{4^2 \cdot 1.5}{2} = 6) кв. см.