1. В прямоугольнике ABCD, AB=8, AD=68,диагонали пересекаются в точке О, найти сумму векторов AO и BO...

1. Сумма векторов AO и BO: AO + BO = AB + AD
2. Длина разности векторов AO и BO: |AO - BO| = |AB - AD|
3. Длина вектора AB + AD: |AB + AD| = √(AC^2 + BD^2)
4. Длина вектора AB - AD: |AB - AD| = √(AC^2 + BD^2)

Давайте разберемся с каждой из задач по очереди, используя свойства векторов и геометрических фигур.

1. В прямоугольнике ABCD, AB=8, AD=68, диагонали пересекаются в точке O, найти сумму векторов AO и BO.

   В прямоугольнике диагонали равны и пересекаются в точке O, деля друг друга пополам. Это означает, что ( \vec{AO} = \vec{OC} ) и ( \vec{BO} = \vec{OD} ). Сумма векторов ( \vec{AO} + \vec{BO} ) равна вектору ( \vec{AB} ), который соединяет точки A и B. Таким образом: [ \vec{AO} + \vec{BO} = \vec{AB} ]

2. В прямоугольнике ABCD, AB=23, AD=58, диагонали пересекаются в точке O, найти длину разности векторов AO и BO.

   Как и в предыдущем случае, диагонали делят друг друга пополам. Разность векторов ( \vec{AO} - \vec{BO} ) равна вектору ( \vec{OD} - \vec{OC} ), что в свою очередь равно вектору ( \vec{AC} ), который соединяет противоположные вершины. Таким образом, длина разности векторов: [ |\vec{AO} - \vec{BO}| = |\vec{AC}| ] Длину диагонали можно найти по теореме Пифагора: [ |\vec{AC}| = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{23^2 + 58^2} ]

3. В ромбе ABCD, AC=33, BD=58, найти длину вектора ( \vec{AB} + \vec{AD} ).

   В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Векторы ( \vec{AB} ) и ( \vec{AD} ) равны по длине, так как стороны ромба равны. Сумма векторов ( \vec{AB} + \vec{AD} ) равна вектору, соединяющему начальную точку A и противоположную вершину, в данном случае это вектор из A в середину диагонали. Поскольку диагонали делят друг друга пополам, длина этого вектора равна: [ |\vec{AB} + \vec{AD}| = \sqrt{2} \cdot \text{(длина стороны ромба)} ] Сторону ромба можно найти через диагонали: [ \text{длина стороны} = \sqrt{\left(\frac{AC}{2}\right)^2 + \left(\frac{BD}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{33}{2}\right)^2 + \left(\frac{58}{2}\right)^2} ]

4. В ромбе ABCD, AC=8, BD=67, найти длину вектора ( \vec{AB} - \vec{AD} ).

   Разность векторов ( \vec{AB} - \vec{AD} ) будет равна вектору, который соединяет начальную точку с противоположным концом, но с учетом противоположного направления. Это будет вектор, соединяющий середины AC и BD. Длина этого вектора равна длине диагонали: [ |\vec{AB} - \vec{AD}| = \sqrt{2} \cdot \text{длина стороны ромба} ] Вычисление аналогично предыдущему пункту.

Для нахождения точных значений сторон ромба и диагоналей используется теорема Пифагора.

1. |AO + BO| = |AC + CD|
2. |AO - BO| = |AC - CD|
3. |AB + AD| = |AC + BD|
4. |AB - AD| = |AC - BD|