1. Стороны прямоугольного треугольника равны 3 см, 4 см и 5 см. Найти синус косинус и тангенс большего...

1. Стороны прямоугольного треугольника равны 3 см, 4 см и 5 см. Найти синус, косинус и тангенс большего острого угла.

Для начала определим, какой угол является большим острым углом. В прямоугольном треугольнике один угол прямой (90°), а два других угла острые и дополняют друг друга до 90° (в сумме с прямым углом составляют 180°).

Стороны треугольника:

• Гипотенуза ( c = 5 \, \text{см} );
• Катеты: ( a = 3 \, \text{см} ), ( b = 4 \, \text{см} ).

Больший острый угол лежит напротив большего катета, то есть напротив катета 4 см. Обозначим этот угол как ( \alpha ).

Синус угла ( \alpha ):

Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе: [ \sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{4}{5}. ] Таким образом: [ \sin \alpha = 0{,}8. ]

Косинус угла ( \alpha ):

Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе: [ \cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{3}{5}. ] Таким образом: [ \cos \alpha = 0{,}6. ]

Тангенс угла ( \alpha ):

Тангенс угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету: [ \tan \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{4}{3}. ] Таким образом: [ \tan \alpha = 1{,}333\ldots \, (\text{или } \frac{4}{3}). ]

Ответ: [ \sin \alpha = 0{,}8, \quad \cos \alpha = 0{,}6, \quad \tan \alpha = 1{,}333\ldots \, (\frac{4}{3}). ]

2. Катет прямоугольного треугольника равен 8 см, а противолежащий угол равен ( 45^\circ ). Найдите гипотенузу.

В данном случае нам известен катет (( a = 8 \, \text{см} )) и угол (( \alpha = 45^\circ )). Поскольку угол равен ( 45^\circ ), треугольник является прямоугольным равнобедренным: оба катета равны друг другу (( a = b )).

Свойство прямоугольного треугольника при угле ( 45^\circ ):

В прямоугольных треугольниках с углом ( 45^\circ ) катет и гипотенуза связаны следующим соотношением: [ \text{гипотенуза} = \text{катет} \cdot \sqrt{2}. ]

Подставляем значение катета ( a = 8 ) см: [ \text{гипотенуза} = 8 \cdot \sqrt{2}. ]

Приблизительно: [ \sqrt{2} \approx 1{,}414, \quad \text{гипотенуза} \approx 8 \cdot 1{,}414 = 11{,}312 \, \text{см}. ]

Ответ: [ \text{Гипотенуза} = 8\sqrt{2} \, \text{см} \, (\text{точно}) \quad \text{или приблизительно } 11{,}31 \, \text{см}. ]

Рассмотрим оба вопроса по порядку:

1. Стороны прямоугольного треугольника равны 3 см, 4 см и 5 см.

В прямоугольном треугольнике с такими сторонами 5 см является гипотенузой, а 3 см и 4 см – катетами. Больший острый угол будет находиться напротив меньшего катета, который равен 3 см.

Для нахождения углов и их тригонометрических функций воспользуемся основными определениями:

• Синус угла (sin) равен отношению длины противолежащего катета к длине гипотенузы.
• Косинус угла (cos) равен отношению длины прилежащего катета к длине гипотенузы.
• Тангенс угла (tan) равен отношению длины противолежащего катета к длине прилежащего катета.

Обозначим угол, противолежащий катету 3 см как ( \alpha ), а угол, противолежащий катету 4 см как ( \beta ).

Для угла ( \alpha ):

• ( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} )
• ( \cos(\alpha) = \frac{4}{5} )
• ( \tan(\alpha) = \frac{3}{4} )

Для угла ( \beta ):

• ( \sin(\beta) = \frac{4}{5} )
• ( \cos(\beta) = \frac{3}{5} )
• ( \tan(\beta) = \frac{4}{3} )

Так как угол ( \beta ) больше острого угла ( \alpha ), мы можем записать результаты для угла ( \beta ):

• ( \sin(\beta) = \frac{4}{5} )
• ( \cos(\beta) = \frac{3}{5} )
• ( \tan(\beta) = \frac{4}{3} )

2. Катет прямоугольного треугольника равен 8 см, а противолежащий угол равен 45º.

В прямоугольном треугольнике, где противолежащий угол равен 45º, мы можем воспользоваться свойствами углов и треугольников. Угол 45º означает, что оба катета равны.

Обозначим:

• ( a ) – длина катета, который равен 8 см.
• ( b ) – длина другого катета, который также равен 8 см (поскольку угол 45º).

Теперь можно найти гипотенузу ( c ) с помощью теоремы Пифагора: [ c = \sqrt{a^2 + b^2} ] Подставляя значения: [ c = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} \approx 11.31 \text{ см} ]

Таким образом, гипотенуза этого треугольника равна ( 8\sqrt{2} ) см, что примерно равно 11.31 см.

Теперь у нас есть все необходимые тригонометрические функции для первого треугольника и длина гипотенузы для второго.