1. Найти площадь прямоугольного треугольника, если известно, что один из его катетов на 5 см больше...

Для нахождения площади прямоугольного треугольника, где один из катетов больше другого на 5 см, а гипотенуза равна 25 см, нужно сначала определить длины катетов. Обозначим меньший катет за ( x ). Тогда больший катет будет равен ( x + 5 ).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника выполняется равенство:

[ x^2 + (x + 5)^2 = 25^2 ]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

[ x^2 + (x^2 + 10x + 25) = 625 ]

[ 2x^2 + 10x + 25 = 625 ]

Перенесем 625 в левую часть уравнения:

[ 2x^2 + 10x + 25 - 625 = 0 ]

[ 2x^2 + 10x - 600 = 0 ]

Упростим уравнение, разделив все его члены на 2:

[ x^2 + 5x - 300 = 0 ]

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант ( D ) находится по формуле:

[ D = b^2 - 4ac ]

где ( a = 1 ), ( b = 5 ), ( c = -300 ).

Подставим значения:

[ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225 ]

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]

[ x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{1225}}{2} ]

[ x_{1,2} = \frac{-5 \pm 35}{2} ]

Получаем два решения:

[ x_1 = \frac{30}{2} = 15 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-40}{2} = -20 ]

Поскольку длина катета не может быть отрицательной, принимаем ( x = 15 ).

Таким образом, меньший катет равен 15 см, а больший катет:

[ x + 5 = 15 + 5 = 20 \, \text{см} ]

Теперь найдем площадь треугольника ( S ) по формуле:

[ S = \frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2 ]

[ S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = \frac{1}{2} \cdot 300 = 150 \, \text{см}^2 ]

Таким образом, площадь данного прямоугольного треугольника составляет 150 квадратных сантиметров.

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, нужно знать формулу для расчета площади. Для прямоугольного треугольника формула выглядит следующим образом:

S = 0.5 a b,

где S - площадь треугольника, а и b - длины катетов.

Дано, что один из катетов на 5 см больше другого, а гипотенуза равна 25 см. Обозначим длину меньшего катета как x, тогда длина большего катета будет x + 5.

Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, получаем:

x^2 + (x + 5)^2 = 25^2, x^2 + x^2 + 10x + 25 = 625, 2x^2 + 10x - 600 = 0, x^2 + 5x - 300 = 0.

Решив квадратное уравнение, найдем длины катетов: x = 15, x + 5 = 20.

Теперь подставим найденные значения в формулу для площади:

S = 0.5 15 20 = 150 кв.см.

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника равна 150 кв.см.

Для нахождения площади прямоугольного треугольника, можно воспользоваться формулой: S = (a * b) / 2, где a и b - длины катетов.

По условию задачи, один катет на 5 см больше другого, а гипотенуза равна 25 см. Пусть один катет равен x см, тогда второй катет будет равен (x + 5) см. По теореме Пифагора: x^2 + (x + 5)^2 = 25^2. Решив это уравнение, найдем значение x и (x + 5).

После этого подставим найденные значения катетов в формулу площади прямоугольного треугольника и получим ответ.