1) Найдите sin a если cos a =-1/2 2) Найдите tg a если sin a =3/5
1) Найдите sin a если cos a =-1/2 2) Найдите tg a если sin a =3/5
Давайте разберем оба вопроса по порядку.
Для нахождения значения синуса, зная косинус, можно воспользоваться основной тригонометрической тождественностью:
[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1. ]
Поскольку нам дано значение (\cos a = -\frac{1}{2}), подставим его в уравнение:
[ \sin^2 a + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 1. ]
Посчитаем:
[ \sin^2 a + \frac{1}{4} = 1. ]
Теперь вычтем (\frac{1}{4}) из обеих сторон:
[ \sin^2 a = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}. ]
Теперь найдем (\sin a):
[ \sin a = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}. ]
Теперь необходимо определить знак синуса. Поскольку (\cos a = -\frac{1}{2}), это соответствует углам, находящимся во втором и третьем квадранте. В этих квадрантах:
Таким образом, возможные значения (\sin a) будут:
Для нахождения тангенса, зная синус, можно воспользоваться следующей формулой:
[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a}. ]
Сначала найдем (\cos a). Мы знаем, что:
[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1. ]
Подставим значение (\sin a = \frac{3}{5}):
[ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 a = 1. ]
Посчитаем:
[ \frac{9}{25} + \cos^2 a = 1. ]
Вычтем (\frac{9}{25}) из обеих сторон:
[ \cos^2 a = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}. ]
Теперь найдем (\cos a):
[ \cos a = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}. ]
Теперь нам нужно определить знак (\cos a). Знак косинуса зависит от квадранта, в котором находится угол (a):
Таким образом, возможные значения для (\cos a):
Теперь можем найти тангенс для обоих случаев:
В первом квадранте: [ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}. ]
Во втором квадранте: [ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}. ]
Итак, итоговые результаты: 1) (\sin a = \frac{\sqrt{3}}{2}) или (-\frac{\sqrt{3}}{2}). 2) (\tan a = \frac{3}{4}) или (-\frac{3}{4}).
Давайте разберем оба случая по отдельности и подробно.
[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 ]
Подставляем значение (\cos a = -\frac{1}{2}): [ \sin^2 a + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 1 ]
Рассчитаем квадрат (-\frac{1}{2}): [ \sin^2 a + \frac{1}{4} = 1 ]
Вычитаем (\frac{1}{4}) из обеих сторон: [ \sin^2 a = 1 - \frac{1}{4} ]
Приводим к общему знаменателю: [ \sin^2 a = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} ]
Чтобы найти (\sin a), берём квадратный корень: [ \sin a = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} ]
Знак синуса зависит от квадранта (четверти), в котором находится угол (a). Поскольку (\cos a = -\frac{1}{2}), косинус отрицателен, а это означает, что угол (a) находится либо во второй четверти, либо в третьей.
Без дополнительной информации о четверти, ответ будет: [ \sin a = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} ]
Если область известна, уточните знак.
[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} ]
[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 ]
Подставляем (\sin a = \frac{3}{5}): [ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 a = 1 ]
Вычисляем квадрат (\frac{3}{5}): [ \frac{9}{25} + \cos^2 a = 1 ]
Вычитаем (\frac{9}{25}) из обеих сторон: [ \cos^2 a = 1 - \frac{9}{25} ]
Приводим к общему знаменателю: [ \cos^2 a = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} ]
[ \cos a = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5} ]
Знак косинуса зависит от квадранта (четверти), в которой находится угол (a). Поскольку (\sin a = \frac{3}{5} > 0), синус положителен, а это значит, что угол (a) находится либо в первой четверти, либо во второй.
Без дополнительной информации о четверти оставим оба варианта.
Подставляем в формулу (\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}): [ \tan a = \frac{\frac{3}{5}}{\pm \frac{4}{5}} = \pm \frac{3}{4} ]
[ \tan a = \pm \frac{3}{4} ]
Знак уточняется в зависимости от четверти:
1) Если ( \cos a = -\frac{1}{2} ), то ( \sin a = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} ) (в зависимости от квадранта).
2) Если ( \sin a = \frac{3}{5} ), то ( \cos a = \sqrt{1 - \sin^2 a} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} ). Следовательно, ( \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4} ).
