- Найдите отрезки касательных AB и AC проведенных из точки A к окружности радиуса r=9, угол BAC=120* (через тригом. функцию)
Для нахождения отрезков касательных AB и AC проведенных из точки A к окружности радиуса r=9, угол BAC=120 градусов используем тригонометрические функции.
Пусть точка A - центр окружности, точка B - точка касания касательной AB, точка C - точка касания касательной AC. Тогда треугольник ABC является равносторонним, так как угол BAC=120 градусов.
Рассмотрим треугольник AOB, где O - центр окружности, AB - радиус окружности, угол AOB = 60 градусов. Тогда по теореме косинусов: AB^2 = AO^2 + OB^2 - 2 AO OB cos(AOB) AB^2 = 9^2 + 9^2 - 2 9 9 cos(60) AB^2 = 81 + 81 - 162 * 0.5 AB^2 = 162 - 81 AB = √81 AB = 9
Таким образом, длина отрезка AB равна 9.
Аналогично, рассмотрим треугольник AOC. Тогда по теореме косинусов: AC^2 = AO^2 + OC^2 - 2 AO OC cos(AOC) AC^2 = 9^2 + 9^2 - 2 9 9 cos(60) AC^2 = 81 + 81 - 162 * 0.5 AC^2 = 162 - 81 AC = √81 AC = 9
Таким образом, длина отрезка AC также равна 9.
Итак, отрезки касательных AB и AC проведенных из точки A к окружности радиуса r=9, угол BAC=120 градусов равны 9.
AB = AC = 9√3.
Для решения этой задачи можно воспользоваться свойством касательных к окружности из одной точки и теоремой синусов. Касательные, проведённые из точки к окружности, равны между собой, поэтому достаточно найти длину одной касательной AB или AC.
Пусть O - центр окружности, а точки B и C - точки касания касательных AB и AC с окружностью. Тогда треугольник OAB - прямоугольный, так как радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Угол AOB образует угол в 120°, который делится пополам радиусами OB и OA (по свойству биссектрисы угла, образованного хордами, заключающими равные дуги), следовательно, каждая половина этого угла равна 60°.
Используя теорему Пифагора для треугольника OAB, где OB = r = 9 см (радиус), и OA равен длине касательной AB, которую мы обозначим как x: [ OB^2 + AB^2 = OA^2 ] [ 9^2 + x^2 = OA^2 ] Но важно также заметить, что OA не только равно x, но и равно гипотенузе прямоугольного треугольника OAB. Отсюда: [ OA = OB / \cos(60°) = 9 / \cos(60°) = 9 / 0.5 = 18 см ] Теперь, используя теорему Пифагора, найдем x: [ x^2 = OA^2 - OB^2 = 18^2 - 9^2 = 324 - 81 = 243 ] [ x = \sqrt{243} = 9\sqrt{3} см ]
Таким образом, длины отрезков касательных AB и AC, проведённых из точки A к окружности, равны 9√3 см каждая.
