1. На отрезке АС как на основании построены по разные стороны от него два равнобедренных треугольника...

Чтобы решить эти задачи, давайте рассмотрим каждую из них по отдельности.

Задача 1

Дано:

• На отрезке ( AC ) построены два равнобедренных треугольника ( \triangle ABC ) и ( \triangle ADC ).
• Периметр четырехугольника ( ABCD ) равен 20 см.
• Сторона ( BC ) на 2 см больше стороны ( AD ).

Необходимо доказать:

• ( BD ) и ( AC ) перпендикулярны.

Решение:

1. Рассмотрим треугольники ( \triangle ABC ) и ( \triangle ADC ). Поскольку они равнобедренные, пусть ( AB = BC = x ) и ( AD = DC = y ).

2. Периметр ( ABCD ) равен ( AB + BC + CD + DA = x + x + y + y = 2x + 2y = 20 ).

3. Следовательно, ( x + y = 10 ).

4. Из условия, ( BC = AD + 2 ), то есть ( x = y + 2 ).

5. Подставляя ( x = y + 2 ) в ( x + y = 10 ), получаем:

   • ( (y + 2) + y = 10 )
   • ( 2y + 2 = 10 )
   • ( 2y = 8 )
   • ( y = 4 )

6. Следовательно, ( x = y + 2 = 4 + 2 = 6 ).

Теперь докажем, что ( BD \perp AC ).

1. Поскольку треугольники равнобедренные и построены симметрично относительно ( AC ), высоты ( BH ) и ( DH ) (где ( H ) - точка пересечения высот с ( AC )) равны и перпендикулярны ( AC ).

2. Таким образом, ( BD ), являясь суммой векторов высот ( BH ) и ( DH ), будет перпендикулярна ( AC ).

Ответ: ( AB = 6 \, \text{см} ).

Задача 2

Дано:

• Отрезок ( AB ) точками ( P ) и ( Q ) делится на три равные части. Пусть ( AP = PQ = QB = x ).
• ( AC = BD ) и ( CQ = DP ).
• ( \angle DPB + \angle CQA = 140^\circ ).

Необходимо найти:

• Величину угла ( \angle DPB ).

Решение:

1. Из условия симметрии и равенства отрезков, можно предположить, что фигура имеет осевую симметрию относительно прямой ( PQ ).

2. Углы, образованные на основании осевой симметрии, будут равны, то есть, ( \angle DPB = \angle CQA ).

3. Исходя из условия:

   • ( \angle DPB + \angle CQA = 140^\circ ).

4. Поскольку углы равны, то ( 2\angle DPB = 140^\circ ).

5. Следовательно, ( \angle DPB = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ ).

Ответ: ( \angle DPB = 70^\circ ).

1. Пусть E - середина отрезка АD, тогда BE и CE - медианы треугольника ABC и ADC, а значит BD и AC перпендикулярны. Пусть AB = x, тогда AD = x + 2. По условию периметр равен 20, значит AB + BC + CD + DA = 20, x + 2 + BC + x + 2 + x = 20, откуда x = 4 см.

2. Так как Р и Q делят отрезок на три равные части, то AR = RQ = QB. Из условия АС = BD и CQ = DP следует, что треугольники ACR и BQD равны. Тогда угол DPB = угол CQA = 70 градусов.

1. Для начала докажем, что треугольники ABC и ADC равнобедренные. Из условия мы знаем, что AC - основание этих треугольников. Так как треугольники равнобедренные, то у них равны боковые стороны: AB = BC и AD = DC. Также мы знаем, что BD = BC - CD = BC - AD. Поскольку BD = AD, то BD = BC - AD = BC - BD. Отсюда следует, что BD = 1/2 BC. Теперь докажем, что BD и AC перпендикулярны. Предположим, что BD и AC не перпендикулярны. Тогда существует точка E, лежащая на AC, такая что BE перпендикулярно AC. Так как треугольник ABC равнобедренный, то BE является медианой и высотой этого треугольника, а значит, он также является биссектрисой угла ABC. Так как угол ABC = угол ABD, то угол EBD = угол ABC = угол ABD. Но это противоречит тому, что BD = 1/2 BC, так как в случае перпендикулярности BE = AC. Следовательно, BD и AC перпендикулярны. Теперь найдем длину стороны AB. Пусть AB = x, тогда BC = x, AD = y, DC = y. Из условия периметра четырехугольника получаем, что x + x + 2y = 20, откуда x + y = 10. Также известно, что x = y + 2. Подставляем x = y + 2 в x + y = 10, получаем y + 2 + y = 10, откуда y = 4. Тогда x = 6. Итак, AB = 6 см.

2. Из условия углов DPB и CQA образуют смежные углы, и их сумма составляет 140 градусов. Так как углы DPB и CQA дополняют друг друга до 180 градусов, то DPB + CQA = 180 - 140 = 40 градусов. Так как угол CQA равен углу DPB, то угол DPB равен 20 градусов.