1. Какое из следующих утверждений верно? а) любые четыре точки лежат в одной плоскости; б) любые три...

Давайте разберем каждый из вопросов по порядку:

1. Какое из следующих утверждений верно?

   • а) Любые четыре точки лежат в одной плоскости. — Неверно. Четыре точки могут не лежать в одной плоскости, если они не компланарны.
   • б) Любые три точки не лежат в одной плоскости. — Неверно. Любые три точки либо лежат на одной прямой, либо определяют плоскость.
   • в) Любые четыре точки не лежат в одной плоскости. — Неверно. Четыре точки могут лежать в одной плоскости, если они компланарны.
   • г) Через любые три точки проходит плоскость. — Верно, если точки не коллинеарны.
   • д) Через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна. — Верно, если точки не лежат на одной прямой.

2. Сколько общих точек могут иметь две различные плоскости?

   • а) 2; б) 3; в) несколько; — Неверно. Две различные плоскости могут пересекаться только по прямой.
   • г) бесконечно много; — Верно, если плоскости пересекаются по прямой.
   • д) бесконечно много или ни одной. — Верно, если плоскости параллельны, то ни одной; если пересекаются, то бесконечно много (по прямой).

3. Точки А, В, С лежат на одной прямой, точка D не лежит на ней. Через каждые три точки проведена одна плоскость. Сколько различных плоскостей при этом получилось?

   • а) 2; — Неверно.
   • б) 3; — Верно. Плоскости: ABC, ABD, BCD.
   • в) 1; г) 4; д) бесконечно много. — Неверно.

4. Если три точки не лежат на одной прямой, то положение плоскости в пространстве они:

   • а) не определяют в любом случае; — Неверно.
   • б) определяют, но при дополнительных условиях; — Неверно.
   • в) определяют в любом случае; — Верно. Три точки, не лежащие на одной прямой, однозначно определяют плоскость.
   • г) ничего сказать нельзя; д) другой ответ. — Неверно.

5. Выберите верное утверждение.

   • а) Если одна точка прямой лежит в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости; — Неверно.
   • б) Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна; — Верно.
   • в) Через две пересекающиеся прямые плоскость провести нельзя; — Неверно.
   • г) Любые две плоскости не имеют общих точек; — Неверно.
   • д) Если четыре точки не лежат в одной плоскости, то какие-нибудь три из них лежат на одной прямой. — Неверно.

6. Назовите общую прямую плоскостей AFD и DEF.

   • а) AD; — Неверно.
   • б) DE; — Верно. DE — общая прямая плоскостей.
   • в) определить нельзя; г) DF; д) AF. — Неверно.

7. Какую из перечисленных плоскостей пересекает прямая EF (рис.1)?

   • а) ABC; б) AA1D; в) BB1C1; г) AEF; — Верно. AEF содержит прямую EF.
   • д) B1C1C. — Неверно.

8. Через точку М, не лежащую на прямой а, провели прямые, пересекающие прямую а. Тогда:

   • а) эти прямые не лежат в одной плоскости; — Неверно.
   • б) эти прямые лежат в одной плоскости; — Верно. Все такие прямые и прямая a лежат в одной плоскости.
   • в) никакого вывода сделать нельзя; г) часть прямых лежит в плоскости, а часть - нет; д) все прямые совпадают с прямой а. — Неверно.

9. Прямая а лежит в плоскости α и пересекает плоскость β. Каково взаимное расположение плоскостей α и β?

   • а) Определить нельзя; — Неверно.
   • б) они совпадают; — Неверно.
   • в) имеют только одну общую точку; — Неверно.
   • г) не пересекаются; — Неверно.
   • д) пересекаются по некоторой прямой. — Верно. Плоскости пересекаются по линии, содержащей прямую a.

10. Точки A,B,C не лежат на одной прямой. M ∈ AB; K ∈ AC; X ∈ MK. Выберите верное утверждение.

    • а) X ∈ AB; — Неверно.
    • б) X ∈ AC; — Неверно.
    • в) X ∈ ABC; — Верно. Точка X, как и точки M и K, лежит в плоскости ABC.
    • г) точки Х и М совпадают; д) точки Х и К совпадают. — Неверно.

1. Верное утверждение: г) через любые три точки проходит плоскость; д) через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна. Это свойство называется аксиомой о плоскости.

2. Верное утверждение: а) 2. Две различные плоскости могут иметь ровно две общие точки.

3. Верное утверждение: б) 3. При заданных условиях получилось три различные плоскости.

4. Верное утверждение: в) определяют в любом случае. Три точки, не лежащие на одной прямой, определяют плоскость в пространстве.

5. Верное утверждение: а) Если одна точка прямой лежит в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

6. Общая прямая плоскостей AFD и DEF - г) DF.

7. Прямая EF пересекает плоскость - г) AEF.

8. Верное утверждение: а) эти прямые не лежат в одной плоскости. Прямые, проведенные через точку М и пересекающие прямую а, не лежат в одной плоскости.

9. Верное утверждение: д) пересекаются понекоторой прямой. Плоскости α и β пересекаются по некоторой прямой.

10. Верное утверждение: в) X € ABC. Точка X принадлежит треугольнику ABC.