1) Две смежные вершины квадрата имеют координаты C(3;-7) Д(-1,4) найти площадь квадрата? 2) На оси координат найти точку N равную от точек А(-8,-3) В(-4,7)? 3) По коорд. три вершины прямоугольника А(-6,2) В(2,8) С(8,0) Определите координату четвёртой вершины Д(x,y)?
1) Для нахождения площади квадрата смежные вершины которого имеют координаты C(3;-7) и D(-1,4), нужно найти длину стороны квадрата. Для этого можно воспользоваться формулой расстояния между двумя точками на плоскости: d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²). Применяя эту формулу к точкам C и D, получаем d = √((-1 - 3)² + (4 - (-7))²) = √((-4)² + (11)²) = √(16 + 121) = √137. Так как стороны квадрата равны, площадь квадрата равна стороне, возведенной в квадрат: S = d² = 137.
2) Чтобы найти точку N на оси координат, равноудаленную от точек A(-8,-3) и B(-4,7), нужно найти середину отрезка AB. Для этого можно воспользоваться формулами для нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении: x = (x1 + x2) / 2 и y = (y1 + y2) / 2. Применяя эти формулы к точкам A и B, получаем x = (-8 - 4) / 2 = -6 / 2 = -3 и y = (-3 + 7) / 2 = 4 / 2 = 2. Таким образом, координаты точки N равны (-3, 2).
3) Для определения координаты четвертой вершины прямоугольника по координатам трех вершин необходимо использовать свойство прямоугольника, заключающееся в том, что его диагонали пересекаются в точке пересечения, делящей каждую диагональ пополам. Поэтому координаты четвертой вершины Д будут равны сумме координат двух противоположных вершин. В данном случае, координаты вершин А(-6,2) и С(8,0) могут быть использованы для нахождения координат вершины Д. Суммируя координаты x и y соответствующих вершин, мы получаем x = -6 + 8 = 2 и y = 2 + 0 = 2. Таким образом, координаты четвертой вершины прямоугольника Д равны (2, 2).
Давайте разберемся с каждым из вопросов по очереди.
1) Найти площадь квадрата по координатам двух смежных вершин: C(3, -7) и D(-1, 4).
Чтобы найти площадь квадрата, нужно сначала вычислить длину стороны квадрата. Поскольку C и D — смежные вершины, они образуют одну из сторон квадрата. Длину этой стороны можно найти по формуле расстояния между двумя точками:
[ CD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ]
Где ( C(3, -7) = (x_1, y_1) ) и ( D(-1, 4) = (x_2, y_2) ).
Подставляем значения:
[ CD = \sqrt{((-1) - 3)^2 + (4 - (-7))^2} = \sqrt{(-4)^2 + (11)^2} = \sqrt{16 + 121} = \sqrt{137} ]
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны:
[ S = (CD)^2 = (\sqrt{137})^2 = 137 ]
Таким образом, площадь квадрата равна 137 квадратных единиц.
2) Найти точку N на оси координат, равноудаленную от точек A(-8, -3) и B(-4, 7).
Точка N, равноудаленная от двух точек, находится на серединном перпендикуляре к отрезку AB. Координаты этой точки являются средними арифметическими соответствующих координат точек A и B:
[ N_x = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-8 + (-4)}{2} = \frac{-12}{2} = -6 ]
[ N_y = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 ]
Таким образом, координаты точки N равны (-6, 2).
3) Определить координаты четвертой вершины D(x, y) прямоугольника, если известны три вершины: A(-6, 2), B(2, 8), C(8, 0).
В прямоугольнике противоположные стороны параллельны и равны. Это значит, что диагонали делят друг друга пополам. Давайте найдем середину диагонали AC и сравним ее с серединой диагонали BD:
[ M_{AC} = \left(\frac{-6 + 8}{2}, \frac{2 + 0}{2}\right) = (1, 1) ]
Предполагаем, что D(x, y) — это четвертая вершина. Тогда середина диагонали BD должна совпадать с серединой AC:
[ M_{BD} = \left(\frac{2 + x}{2}, \frac{8 + y}{2}\right) = (1, 1) ]
Решим систему уравнений:
[ \frac{2 + x}{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad 2 + x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 0 ]
[ \frac{8 + y}{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad 8 + y = 2 \quad \Rightarrow \quad y = -6 ]
Таким образом, координаты четвертой вершины D равны (0, -6).
