1. Диаметр шара равен высоте конуса, образующая которого составляет с плоскостью основания угол 60 градусов....

1. Отношение объемов конуса и шара

Дано:

• Диаметр шара (d) равен высоте конуса (h).
• Образующая конуса составляет угол 60° с плоскостью основания.
• Нужно найти отношение объемов ( V{\text{конус}} ) и ( V{\text{шар}} ).

Решение:

1. Обозначим параметры:

   • Диаметр шара ( d = h ), значит радиус шара ( R = h/2 ).
   • Высота конуса ( h ).
   • Угол между образующей и основанием конуса ( \alpha = 60^\circ ).

2. Радиус основания конуса: Образующая ( l ) конуса, его радиус ( r ) и высота ( h ) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике: [ \tan \alpha = \frac{r}{h}. ] Подставляем ( \alpha = 60^\circ ), где ( \tan 60^\circ = \sqrt{3} ): [ \sqrt{3} = \frac{r}{h}, \quad r = \frac{h}{\sqrt{3}}. ]

3. Объем конуса: Формула объема конуса: [ V{\text{конус}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h. ] Подставляем ( r = \frac{h}{\sqrt{3}} ): [ V{\text{конус}} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{h}{\sqrt{3}}\right)^2 h = \frac{1}{3} \pi \frac{h^2}{3} h = \frac{\pi h^3}{9}. ]

4. Объем шара: Формула объема шара: [ V{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi R^3. ] Подставим ( R = \frac{h}{2} ): [ V{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{h}{2}\right)^3 = \frac{4}{3} \pi \frac{h^3}{8} = \frac{\pi h^3}{6}. ]

5. Отношение объемов: [ \frac{V{\text{конус}}}{V{\text{шар}}} = \frac{\frac{\pi h^3}{9}}{\frac{\pi h^3}{6}} = \frac{1}{9} \cdot \frac{6}{1} = \frac{2}{3}. ]

Ответ:

Отношение объемов конуса и шара равно ( \frac{2}{3} ).

2. Площадь сферы, описанной около цилиндра

Дано:

• Объем цилиндра ( V_{\text{цилиндра}} = 96\pi \, \text{см}^3 ).
• Площадь осевого сечения цилиндра ( S_{\text{осевое}} = 48 \, \text{см}^2 ).
• Нужно найти площадь сферы, описанной около цилиндра.

Решение:

1. Обозначим параметры цилиндра:

   • Радиус основания цилиндра ( r ).
   • Высота цилиндра ( h ).

2. Формула осевого сечения: Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник с размерами ( 2r ) и ( h ). Площадь осевого сечения: [ S{\text{осевое}} = 2r \cdot h. ] Подставим ( S{\text{осевое}} = 48 ): [ 2r \cdot h = 48, \quad rh = 24. \tag{1} ]

3. Формула объема цилиндра: Объем цилиндра: [ V{\text{цилиндра}} = \pi r^2 h. ] Подставим ( V{\text{цилиндра}} = 96\pi ): [ r^2 h = 96. \tag{2} ]

4. Решим систему уравнений: Из (1) выразим ( h ): [ h = \frac{24}{r}. ] Подставим это в (2): [ r^2 \cdot \frac{24}{r} = 96, \quad 24r = 96, \quad r = 4. ] Найдем ( h ): [ h = \frac{24}{r} = \frac{24}{4} = 6. ]

5. Радиус описанной сферы: Сфера, описанная около цилиндра, имеет радиус ( R ), равный половине диагонали осевого сечения цилиндра. Диагональ осевого сечения равна: [ d = \sqrt{(2r)^2 + h^2}. ] Подставим ( r = 4 ) и ( h = 6 ): [ d = \sqrt{(2 \cdot 4)^2 + 6^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10. ] Радиус сферы: [ R = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5. ]

6. Площадь сферы: Формула площади сферы: [ S{\text{сферы}} = 4\pi R^2. ] Подставим ( R = 5 ): [ S{\text{сферы}} = 4\pi \cdot 5^2 = 4\pi \cdot 25 = 100\pi \, \text{см}^2. ]

Ответ:

Площадь сферы, описанной около цилиндра, равна ( 100\pi \, \text{см}^2 ).

Рисунки:

К сожалению, текстовый интерфейс не позволяет добавлять рисунки, но вы можете изобразить их следующим образом:

1. Задача 1:

   • Нарисуйте конус: высота ( h ), радиус основания ( r = \frac{h}{\sqrt{3}} ), образующая под углом ( 60^\circ ).
   • Внутри конуса нарисуйте шар с диаметром ( h ).

2. Задача 2:

   • Нарисуйте цилиндр с радиусом ( r = 4 ) и высотой ( h = 6 ).
   • Покажите осевое сечение (прямоугольник ( 2r \times h )).
   • Покажите описанную сферу с радиусом ( R = 5 ).

1. Объем шара ( V{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi r^3 ), где ( r ) — радиус шара. Диаметр шара равен высоте конуса, значит ( h = 2r ). Объем конуса ( V{\text{конус}} = \frac{1}{3} \pi R^2 h ). Радиус основания конуса ( R = h \cdot \tan(60^\circ) = 2r \cdot \sqrt{3} ). Подставляем ( h ) и ( R ) в формулу объема конуса:

[ V_{\text{конус}} = \frac{1}{3} \pi (2r \sqrt{3})^2 (2r) = \frac{1}{3} \pi (12r^2)(2r) = 8 \pi r^3 ]

Теперь находим отношение объемов:

[ \frac{V{\text{конус}}}{V{\text{шар}}} = \frac{8 \pi r^3}{\frac{4}{3} \pi r^3} = \frac{8 \cdot 3}{4} = 6 ]

Отношение объемов конуса и шара равно 6.

1. Объем цилиндра ( V = S{\text{осн}} \cdot h ), где ( S{\text{осн}} ) — площадь основания цилиндра и ( h )— высота. Площадь осевого сечения цилиндра равна ( S_{\text{осн}} = 48 ) см². Тогда

[ V = 48h = 96\pi \implies h = \frac{96\pi}{48} = 2\pi \text{ см} ]

Теперь находим радиус основания цилиндра ( r ) из площади ( S_{\text{осн}} = \pi r^2 ):

[ \pi r^2 = 48 \implies r^2 = \frac{48}{\pi} \implies r = \sqrt{\frac{48}{\pi}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{\pi}} \text{ см} ]

Для нахождения площади сферы, описанной около цилиндра, используем формулу:

[ R = \sqrt{r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2} ]

где ( \frac{h}{2} = \pi ). Подставляем значения:

[ R = \sqrt{\frac{48}{\pi} + \pi^2} = \sqrt{\frac{48 + \pi^3}{\pi}} ]

Площадь сферы ( S = 4\pi R^2 ):

[ S = 4\pi \left(\frac{48 + \pi^3}{\pi}\right) = 4(48 + \pi^3) \text{ см}^2 ]

Площадь сферы, описанной около цилиндра, равна ( 4(48 + \pi^3) ) см².

Давайте разберем оба вопроса по отдельности.

1. Отношение объемов конуса и шара

Дано:

• Диаметр шара равен высоте конуса.
• Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60 градусов.

Решение:

1. Обозначим:

   • Радиус шара ( R ).
   • Диаметр шара ( D = 2R ).
   • Высота конуса ( h = D = 2R ).

2. Объем шара: [ V_{sphere} = \frac{4}{3} \pi R^3 ]

3. Находим радиус основания конуса. Образующая конуса ( l ) образует угол 60 градусов с высотой ( h ). Используя тригонометрию, мы можем найти радиус основания ( r ): [ \tan(60^\circ) = \frac{r}{h} ] [ r = h \cdot \tan(60^\circ) = 2R \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}R ]

4. Объем конуса: [ V{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 h ] Подставляем значения: [ V{cone} = \frac{1}{3} \pi (2\sqrt{3}R)^2 (2R) ] [ = \frac{1}{3} \pi (12R^2) (2R) = \frac{24}{3} \pi R^3 = 8 \pi R^3 ]

5. Теперь найдем отношение объемов: [ \frac{V{cone}}{V{sphere}} = \frac{8 \pi R^3}{\frac{4}{3} \pi R^3} = \frac{8}{\frac{4}{3}} = 6 ]

Ответ: Отношение объемов конуса и шара равно 6.

2. Площадь сферы, описанной около цилиндра

Дано:

• Объем цилиндра ( V_{cylinder} = 96\pi ) см³.
• Площадь осевого сечения ( S_{axial} = 48 ) см².

Решение:

1. Формулы:

   • Объем цилиндра: ( V{cylinder} = S{axial} \cdot h )
   • Площадь осевого сечения: ( S_{axial} = \pi r^2 )

2. Находим радиус основания цилиндра: [ S_{axial} = \pi r^2 = 48 ] [ r^2 = \frac{48}{\pi} \quad \Rightarrow \quad r = \sqrt{\frac{48}{\pi}} ]

3. Находим высоту цилиндра: [ V{cylinder} = S{axial} \cdot h \quad \Rightarrow \quad 96\pi = 48h ] [ h = \frac{96\pi}{48} = 2\pi ]

4. Теперь найдем радиус описанной сферы. Радиус описанной сферы ( R ) равен половине диагонали прямоугольника, образованного радиусом основания и высотой цилиндра. [ R = \sqrt{r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{48}{\pi} + \left(\frac{2\pi}{2}\right)^2} ] [ R = \sqrt{\frac{48}{\pi} + \pi^2} ]

5. Площадь сферы: [ S_{sphere} = 4\pi R^2 ]

   Подставляем найденный радиус: [ R^2 = \frac{48}{\pi} + \pi^2 ] Таким образом: [ S_{sphere} = 4\pi \left(\frac{48}{\pi} + \pi^2\right) = 4 \cdot 48 + 4\pi^3 = 192 + 4\pi^3 ]

Ответ: Площадь сферы, описанной около цилиндра, равна ( 192 + 4\pi^3 ) см².

Рисунки

К сожалению, я не могу создать изображения, но вы можете визуализировать задачу следующим образом:

• Для первого вопроса представьте шар с конусом, у которого высота равна диаметру шара, а образующая образует угол 60° с основанием.
• Для второго вопроса нарисуйте цилиндр и его осевое сечение, а также сферу, которая охватывает цилиндр.

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь, дайте знать!