Давайте разберем каждую задачу по порядку.
Задача 1:
Диагонали прямоугольника пересекаются в точке ( O ). Угол ( \angle BOA ) равен ( 84^\circ ). Найдите угол ( \angle OAD ).
Диагонали прямоугольника равны и пересекаются под углом ( \angle BOA ). Так как это прямоугольник, диагонали делят его на четыре равных треугольника. Угол между диагоналями ( \angle BOA ) делится пополам точкой пересечения, следовательно, каждый из этих углов будет равен ( \frac{84^\circ}{2} = 42^\circ ).
Так как ( O ) - точка пересечения диагоналей, то углы при вершине прямоугольника, например, ( \angle AOD = \angle COD = \angle BOC = \angle BOA = 84^\circ ). В прямоугольнике углы при вершинах равны ( 90^\circ ). Следовательно, угол ( \angle OAD ) будет:
[ \angle OAD = \frac{90^\circ - 42^\circ}{2} = 24^\circ ]
Задача 2:
Найдите углы прямоугольной трапеции, если один из её углов равен ( 61^\circ ).
В прямоугольной трапеции один из углов при основании равен ( 90^\circ ) (прямой угол). Если один из углов трапеции равен ( 61^\circ ), то другой угол при этой же боковой стороне (при основании) будет равен ( 180^\circ - 61^\circ = 119^\circ ).
Для обоих оснований:
- ( \angle A = 61^\circ )
- ( \angle B = 90^\circ )
- ( \angle C = 119^\circ )
- ( \angle D = 90^\circ )
Задача 3:
В параллелограмме одна сторона на 25 см больше другой. Найдите стороны параллелограмма, если периметр равен 150 см.
Обозначим меньшую сторону параллелограмма через ( a ), тогда большая сторона будет ( a + 25 ). Периметр параллелограмма равен ( 2a + 2(a + 25) = 150 ).
Упростим уравнение:
[ 2a + 2a + 50 = 150 ]
[ 4a + 50 = 150 ]
[ 4a = 100 ]
[ a = 25 ]
Тогда другая сторона будет:
[ a + 25 = 25 + 25 = 50 ]
Итак, стороны параллелограмма равны ( 25 ) см и ( 50 ) см.
Задача 4:
В трапеции ( ABCD ) диагональ ( BD ) перпендикулярна стороне ( AB ), угол ( \angle BDA = \angle CDB ) и равен ( 30^\circ ). Найдите ( DA ), если периметр трапеции ( 100 ) см.
Так как ( BD ) перпендикулярна ( AB ), трапеция является прямоугольной. Углы ( \angle BDA ) и ( \angle CDB ) равны ( 30^\circ ), значит треугольники ( BDA ) и ( CDB ) являются прямоугольными треугольниками с одинаковыми углами.
Пусть ( BD = h ), тогда ( AD = h \cdot \tan(30^\circ) = h \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} ).
Периметр трапеции:
[ AB + CD + AD + BD = 100 ]
[ AB + CD + h \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + h = 100 ]
Без дополнительных условий (например, длины ( AB ) и ( CD )) точное значение ( AD ) найти невозможно.
Задача 5:
В равнобедренной трапеции диагональ составляет с боковой стороной угол ( 120^\circ ). Боковая сторона равна меньшему основанию. Найдите углы трапеции.
Пусть ( ABCD ) - равнобедренная трапеция с основаниями ( AB ) и ( CD ), где ( AB < CD ). Диагональ ( AC ) образует угол ( 120^\circ ) с боковой стороной ( AD ).
Поскольку ( \angle CAD = 120^\circ ), то смежный угол ( \angle DAC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ ).
Так как трапеция равнобедренная, углы при основании ( AB ) равны, а углы при основании ( CD ) также равны. Следовательно:
[ \angle D = \angle C = 60^\circ ]
[ \angle A = \angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ ]
Задача 6:
В прямоугольнике ( MPHK ) точка ( O ) - точка пересечения диагоналей. ( PA ) и ( NB ) - перпендикуляры, проведенные из вершин ( P ) и ( N ) соответственно к прямой ( MK ). ( MA = OB ). Найдите угол ( POM ).
Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам. Так как ( PA ) и ( NB ) перпендикулярны ( MK ), а ( MA = OB ), значит, треугольники ( POM ) и ( NOM ) равны по гипотенузе и катету.
Следовательно, угол ( \angle POM = 45^\circ ).
Задача 7:
В ромбе ( ABCD ) ( BE ) - биссектриса угла ( ABD ) (опущена на ( AD )). Угол ( BED ) равен ( 150^\circ ). Найдите угол ( ACD ).
Так как ( BE ) - биссектриса угла ( ABD ), то:
[ \angle ABE = \angle EBD = \frac{\angle ABD}{2} ]
Угол ( BED ) - внешний для треугольника ( ABE ), и равен сумме углов ( \angle ABE ) и ( \angle BAD ):
[ \angle BED = \angle ABE + \angle BAD = 150^\circ ]
Поскольку ( BE ) - биссектриса, то:
[ \angle ABD = 2 \cdot \angle ABE ]
[ \angle ABD + \angle BAD = 180^\circ ]
Таким образом:
[ \angle ABD = 2 \cdot (\angle BED - \angle BAD) = 2 \cdot (150^\circ - \angle BAD) ]
[ \angle ABD = 2 \cdot (150^\circ - \angle BAD) = 180^\circ ]
Так как ромб имеет равные углы при вершинах и по свойству ромба ( \angle ACD = \angle ABD ):
[ \angle ACD = 30^\circ ]
Таким образом, мы разобрали все задачи.
