1) Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О , угол ABO=40 градусов . Найдите углы между...

1) Поскольку угол ABO = 40 градусов, то угол OBC = 90 - 40 = 50 градусов (так как в прямоугольнике угол B равен 90 градусов). Таким образом, угол ABO = угол OBC = 40 градусов. Теперь рассмотрим треугольник AOB. Из углового свойства диагоналей прямоугольника, угол AOB = 180 - 2 * 40 = 100 градусов. Таким образом, углы между диагоналями прямоугольника равны 100 градусов.

2) а) Четырёхугольник BMDN является параллелограммом, так как в ромбе диагонали делят друг друга пополам и при этом пересекаются под углом 90 градусов. б) Пары равных треугольников: треугольники BOM и MON, треугольники BON и MON.

3) Угол ADC = 108 градусов, а значит угол ADB = (180 - 108) / 2 = 36 градусов. Так как в ромбе угол A равен 90 градусов, то угол OAB = 90 - 36 = 54 градуса. Таким образом, углы треугольника AOB равны 54 градуса.

4) а) Для доказательства того, что AE - биссектриса угла BAD и CF - биссектриса угла BCD, нужно показать, что углы EAB и BAD, а также углы DCF и BCD равны. б) Четырёхугольник AECF является параллелограммом, так как противоположные стороны равны и параллельны.

Давайте рассмотрим каждый из заданных вопросов отдельно.

1) Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, угол ABO = 40 градусов. Найдите углы между диагоналями прямоугольника.

В прямоугольнике диагонали равны и пересекаются под прямым углом. Поскольку диагонали прямоугольника пересекаются в точке O, они делятся пополам. Угол ABO является одним из углов, образованных диагоналями. Если угол ABO = 40 градусов, то угол AOD = 90 градусов (так как диагонали пересекаются под прямым углом), и угол BOD = 180 - (90 + 40) = 50 градусов. Поскольку в прямоугольнике диагонали пересекаются под прямым углом, угол между диагоналями составляет 90 градусов.

2) В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке O. На диагонали AC отложены отрезки OM и ON, равные BO.

а) Определите вид четырёхугольника BMDN.

В ромбе диагонали являются биссектрисами углов и делят друг друга пополам. Поскольку OM = ON = BO, четырёхугольник BMDN имеет стороны BМ = BО и NМ = NО, что свидетельствует о равенстве противоположных сторон. Таким образом, четырёхугольник BMDN является ромбом.

б) Укажите пары равных треугольников.

В ромбе диагонали делят фигуру на равные треугольники. Поскольку OM = ON, треугольники BOM и BON равны по двум сторонам и углу между ними. Таким образом, пары равных треугольников: △BOM ≅ △BON и △BOD ≅ △BMD.

3) В ромбе ABCD, где O - точка пересечения диагоналей, угол ADC = 108 градусов. Найдите углы треугольника AOB.

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят углы пополам. Поскольку угол ADC = 108 градусов и диагонали делят его пополам, угол AOC = 108/2 = 54 градуса. Поскольку диагонали пересекаются под прямым углом, угол AOB = 90 градусов. Таким образом, углы треугольника AOB: ∠AOB = 90 градусов, ∠OAB = 54/2 = 27 градусов, ∠OBA = 27 градусов.

4) В прямоугольнике ABCD на сторонах BC и AD взяты точки E и F так, что AB = BE и CD = FD.

а) Докажите, что AE - биссектриса угла BAD и CF - биссектриса угла BCD.

Поскольку AB = BE и CD = FD, треугольники ABE и CDF являются равнобедренными. Это значит, что углы ABE и EBA равны, а также углы CFD и FDC равны. Таким образом, AE делит угол BAD пополам, а CF делит угол BCD пополам. Следовательно, AE и CF являются биссектрисами соответствующих углов.

б) Определите вид четырёхугольника AECF.

Поскольку AE и CF — биссектрисы углов и точки E и F лежат на противоположных сторонах прямоугольника, то четырёхугольник AECF является равнобедренной трапецией, так как противоположные углы между диагоналями равны.

1) Углы между диагоналями прямоугольника равны 90 градусов. 2) а) Четырёхугольник BMDN - параллелограмм. б) Треугольники BOM и DON равны, а также треугольники BOA и COA. 3) Углы треугольника AOB равны 36 градусов. 4) а) Для доказательства нужно использовать теорему о биссектрисе угла. б) Четырёхугольник AECF - параллелограмм.