1. даны векторы а=2i-3j+k и b=4i-2k вычислите а*b 2. дан куб ABCDA1B1D1C1 найдите угол между прямыми...

1. Для вычисления произведения векторов а и b необходимо умножить соответствующие координаты векторов и сложить полученные произведения. Таким образом, аb = (24) + (-30) + (1(-2)) = 8 + 0 - 2 = 6.

2. Для нахождения угла между прямыми AD1 и BM, где M - середина ребра DD1, необходимо найти векторы направления этих прямых и затем вычислить угол между ними. Вектор направления прямой AD1: d = D1 - A = (A1 - A, B1 - B, C1 - C). Вектор направления прямой BM: m = M - B = (D1 - D)/2 - B = ((A1 + A)/2 - B, (B1 + B)/2 - B, (C1 + C)/2 - B). Затем необходимо вычислить угол между этими векторами, используя формулу cos(θ) = (d m) / (||d|| ||m||), где d * m - скалярное произведение векторов, ||d|| и ||m|| - длины векторов d и m соответственно.

1. Векторное произведение векторов a и b: Для начала вспомним, что векторное произведение двух векторов a и b обозначается как a × b и его результатом является вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам. Векторное произведение вычисляется по формуле: [ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ a_x & a_y & a_z \ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} ]

Где (\mathbf{i}), (\mathbf{j}), и (\mathbf{k}) — это орты, а (a_x), (a_y), (a_z) и (b_x), (b_y), (b_z) — это координаты векторов a и b соответственно.

Для векторов ( \mathbf{a} = 2\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + \mathbf{k} ) и ( \mathbf{b} = 4\mathbf{i} - 2\mathbf{k} ):

[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 2 & -3 & 1 \ 4 & 0 & -2 \end{vmatrix} ]

Рассчитаем определитель:

[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{i} \left( (-3)(-2) - (1)(0) \right) - \mathbf{j} \left( (2)(-2) - (1)(4) \right) + \mathbf{k} \left( (2)(0) - (-3)(4) \right) ]

[ = \mathbf{i} (6 - 0) - \mathbf{j} (-4 - 4) + \mathbf{k} (0 + 12) ]

[ = 6\mathbf{i} - (-8)\mathbf{j} + 12\mathbf{k} ]

[ = 6\mathbf{i} + 8\mathbf{j} + 12\mathbf{k} ]

Таким образом, векторное произведение векторов a и b равно ( 6\mathbf{i} + 8\mathbf{j} + 12\mathbf{k} ).

1. Угол между прямыми AD1 и BM в кубе ABCDA1B1D1C1:

Рассмотрим куб с вершинами ( A, B, C, D ) на нижней грани и ( A1, B1, C1, D1 ) на верхней грани. Длина ребра куба равна a.

Определим координаты точек в Декартовой системе координат, где ( A(0,0,0) ), ( B(a,0,0) ), ( D(a,a,0) ), ( D1(a,a,a) ), и ( M ) — середина ребра ( DD1 ), соответственно ( M(a,a,a/2) ).

Теперь найдём вектор ( \mathbf{AD1} ): [ \mathbf{AD1} = \overrightarrow{AD1} = (a - 0, a - 0, a - 0) = (a, a, a) ]

Найдём вектор ( \mathbf{BM} ): [ \mathbf{BM} = \overrightarrow{BM} = (a - a, a - 0, a/2 - 0) = (0, a, a/2) ]

Теперь найдём скалярное произведение векторов: [ \mathbf{AD1} \cdot \mathbf{BM} = (a, a, a) \cdot (0, a, a/2) = a \cdot 0 + a \cdot a + a \cdot \frac{a}{2} = a^2 + \frac{a^2}{2} = \frac{3a^2}{2} ]

Далее найдем длины векторов ( \mathbf{AD1} ) и ( \mathbf{BM} ):

[ |\mathbf{AD1}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} ]

[ |\mathbf{BM}| = \sqrt{0^2 + a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{4a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2} ]

Теперь, зная скалярное произведение и длины векторов, можно найти косинус угла между ними: [ \cos \theta = \frac{\mathbf{AD1} \cdot \mathbf{BM}}{|\mathbf{AD1}| |\mathbf{BM}|} = \frac{\frac{3a^2}{2}}{a\sqrt{3} \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2}} = \frac{3a^2}{2} \cdot \frac{2}{a^2 \sqrt{15}} = \frac{3}{\sqrt{15}} = \frac{3}{\sqrt{15}} = \frac{3}{\sqrt{15}} = \frac{3\sqrt{15}}{15} = \frac{\sqrt{15}}{5} = \frac{\sqrt{15}}{5} = \frac{\sqrt{15}}{5} = \frac{\sqrt{15}}{5} = \frac{\sqrt{15}}{5} ]

Следовательно, угол ( \theta ) между прямыми ( AD1 ) и ( BM ):

[ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{\sqrt{15}}{5} \right) ]