1) Боковое ребро наклонной четырёхугольной призмы равно 12 см, а перпендикулярным сечением является...

Давайте разберем оба вопроса последовательно и подробно.

Задача 1

Условие:
Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 12 см, а перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см. Найти площадь боковой поверхности призмы.

Решение:

1. Что дано?

   • Наклонная четырехугольная призма, у которой боковое ребро равно ( h = 12 \, \text{см} ).
   • Перпендикулярное сечение призмы представляет собой ромб со стороной ( a = 5 \, \text{см} ).

2. Особенности задачи:
   Боковая поверхность наклонной призмы состоит из четырех боковых граней (параллелограммов). Площадь боковой поверхности можно найти как произведение периметра основания на длину бокового ребра, если боковые ребра призмы равны и наклонены под одинаковым углом.

3. Нахождение периметра ромба:
   В основании сечения лежит ромб. У ромба все стороны равны, поэтому его периметр равен:
   [ P = 4a = 4 \cdot 5 = 20 \, \text{см}. ]

4. Площадь боковой поверхности призмы:
   Площадь боковой поверхности наклонной призмы вычисляется по формуле:
   [ S{\text{бок}} = P \cdot h, ]
   где ( P ) — периметр основания (ромба), а ( h ) — длина бокового ребра. Подставим известные значения:
   [ S{\text{бок}} = 20 \cdot 12 = 240 \, \text{см}^2. ]

Ответ:
Площадь боковой поверхности призмы равна ( 240 \, \text{см}^2 ).

Задача 2

Условие:
Основанием прямой призмы ( ABC A_1 B_1 C_1 ) является прямоугольный треугольник ( ABC ) с прямым углом в ( B ). Через ребро ( BB_1 ) проведено сечение ( BB_1D_1D ), перпендикулярное к плоскости грани ( AA_1C_1C ). Найти площадь сечения, если ( A A_1 = 10 \, \text{см} ), ( A D = 27 \, \text{см} ), ( D C = 12 \, \text{см} ).

Решение:

1. Что дано?

   • Основание призмы — прямоугольный треугольник ( ABC ), где угол ( B ) прямой.
   • Высота призмы (боковое ребро) ( AA_1 = BB_1 = CC_1 = 10 \, \text{см} ).
   • Через ( BB_1 ) проведено сечение ( BB_1D_1D ), перпендикулярное грани ( AA_1C_1C ).
   • Отрезки ( AD = 27 \, \text{см} ), ( DC = 12 \, \text{см} ).

2. Особенности задачи:
   Сечение ( BB_1D_1D ) — это четырехугольник, так как оно наклонено относительно основания призмы. Его площадь находим по формуле площади трапеции (если это трапеция) или через разбиение на треугольники.

3. Рассмотрим сечение:
   Поскольку ( BB_1 ) является вертикальным ребром, оно перпендикулярно основаниям (и параллельно боковым рёбрам). Сечение ( BB_1D_1D ), по условию, перпендикулярно грани ( AA_1C_1C ), то есть оно будет "прямым" относительно этой грани.

4. Разберем отрезки:

   • ( AD = 27 \, \text{см} ) — длина диагонали в сечении (или часть стороны).
   • ( DC = 12 \, \text{см} ) — длина другой стороны.
   • Высота призмы (расстояние между верхним и нижним основанием) равна ( h = 10 \, \text{см} ).

5. Форма сечения:
   Сечение ( BB_1D_1D ) будет являться трапецией. Площадь трапеции можно найти по формуле:
   [ S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h, ]
   где ( a ) и ( b ) — основания трапеции, а ( h ) — высота (перпендикулярное расстояние между основаниями).
   Здесь ( a = AD = 27 \, \text{см} ), ( b = DC = 12 \, \text{см} ), ( h = 10 \, \text{см} ). Подставим значения:
   [ S = \frac{1}{2} \cdot (27 + 12) \cdot 10 = \frac{1}{2} \cdot 39 \cdot 10 = 195 \, \text{см}^2. ]

Ответ:
Площадь сечения равна ( 195 \, \text{см}^2 ).

Итоги:

1. Площадь боковой поверхности наклонной призмы: ( 240 \, \text{см}^2 ).
2. Площадь сечения прямой призмы: ( 195 \, \text{см}^2 ).

1) Чтобы найти площадь боковой поверхности наклонной четырёхугольной призмы, нужно умножить периметр основания (ромба) на высоту (боковое ребро призмы). Периметр ромба со стороной 5 см равен ( 4 \times 5 = 20 ) см. Площадь боковой поверхности призмы равна ( 20 \, \text{см} \times 12 \, \text{см} = 240 \, \text{см}^2 ).

2) Площадь сечения ВВ1D1D равна площади прямоугольного треугольника АВD. Применим формулу для площади треугольника: ( S = \frac{1}{2} \times основание \times высота ). Основание = AD = 27 см, высота = DC = 12 см. Тогда площадь сечения равна ( S = \frac{1}{2} \times 27 \times 12 = 162 \, \text{см}^2 ).

Давайте разберём оба вопроса по очереди.

1) Площадь боковой поверхности наклонной четырёхугольной призмы

Для начала нам нужно понять, как вычислить площадь боковой поверхности наклонной четырёхугольной призмы.

Дано:

• Боковое ребро (h) = 12 см
• Сторона ромба (a) = 5 см

Площадь боковой поверхности призмы складывается из площадей четырёх боковых граней. Если основание призмы — это ромб, то каждая боковая грань представляет собой параллелограмм с одной стороной равной боковому ребру (h) и другой стороной равной стороне основания (a).

Площадь одной боковой грани (параллелограмма) можно найти по формуле:

[ S_{\text{бок. грань}} = a \cdot h ]

Подставляя известные значения:

[ S_{\text{бок. грань}} = 5 \, \text{см} \times 12 \, \text{см} = 60 \, \text{см}^2 ]

Так как у нас четыре боковые грани, общая площадь боковой поверхности будет равна:

[ S{\text{бок. пов.}} = 4 \cdot S{\text{бок. грань}} = 4 \cdot 60 \, \text{см}^2 = 240 \, \text{см}^2 ]

Ответ: Площадь боковой поверхности призмы равна 240 см².

2) Площадь сечения призмы

Дано:

• Высота призмы ( AA_1 ) = 10 см
• ( AD = 27 ) см
• ( DC = 12 ) см

Сечение ( BB_1D_1D ) перпендикулярно к плоскости грани ( AA_1C_1C ). Важно заметить, что точка ( D ) находится на отрезке ( AC ) и делит его на две части: ( AD ) и ( DC ).

Сначала найдем длину отрезка ( AC ):

[ AC = AD + DC = 27 \, \text{см} + 12 \, \text{см} = 39 \, \text{см} ]

Сечение будет представлять собой прямоугольник, где одна сторона будет равна высоте призмы (10 см), а другая сторона — это длина отрезка ( AC ) (39 см).

Теперь можем вычислить площадь сечения:

[ S_{\text{сечения}} = AC \cdot AA_1 = 39 \, \text{см} \cdot 10 \, \text{см} = 390 \, \text{см}^2 ]

Ответ: Площадь сечения равна 390 см².

Таким образом, мы получили ответы на оба вопроса.